[論文レビュー] Weakly Smooth Structures in Gromov-Witten Theory

Gang Liu|arXiv (Cornell University)|Oct 27, 2013

Geometric and Algebraic Topology参考文献 3被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、Gromov-Witten理論における$J$-擬正則球面の摂動されたモジュライ空間の$C^{m_0}$-滑らかさを、$L_k^p$-安定写像の空間に弱い滑らかさ構造を導入することによって確立する。これは、移行写像が連続である場合でさえも成り立つ。一般に$C^{m_0}$-滑らかな$ar{\partial}_J$-切断の摂動が、$m_0 = k - 2/p$の下で、自明な回転対称性と適切さの仮定の下で、コンパクトな$C^{m_0}$-滑らかなモジュライ空間をもたらすことを証明する。

ABSTRACT

In order to establish Fredholm theory on stratified topological Banach manifolds in Gromov-Witten theory, we have introduced flat structures on such manifolds in [L4]. Such a structure is obtained from local flat coordinate charts. The transformations between these charts are only continuous in general. The purpose of this paper is two-fold : firstly to show that on the topological Banach manifolds and bundles appeared in Gromov-Witten and Floer type theories, there are enough smooth functions and sections viewed in any admissible charts and trivializations; secondly to demonstrate some finer aspects about the weakly smooth sections.

研究の動機と目的

• Gromov-Witten理論における位相的バナッハ多様体およびバンドルが、許容的チャートにおいて十分に多くの滑らかな関数と切断を備えていることを示すこと。
• $L_k^p$-安定写像上の非滑らかな再パrametrization群作用に起因する解析的困難を解消すること。
• 摂動された$J$-擬正則写像のモジュライ空間の$C^{m_0}$-滑らかさを確立すること、ここで$m_0 = k - 2/p$である。
• 非滑らかな移行関数が存在するにもかかわらず、局所チャート内での$ar{\partial}_J$-切断が滑らかであることを示すこと。
• 単一のストラトムに自明な回転対称性がある場合を扱うことで、分離バナッハ多様体上のフレドホルム理論の基礎を築くこと。

提案手法

• $L_k^p$-安定写像の空間に、移行写像が連続である場合でも滑らかな関数や切断が存在するような弱い滑らかさ構造を導入すること。
• 座標変換を用いて、$G$作用に起因する微分の損失を、微分同相写像$g$に関する滑らかな依存性に変換し、ヤコビアンの要素の$C^\infty$-滑らかさを活用すること。
• $p$が偶数のとき、$L_k^p$-ノルムの$p$乗を滑らかな関数として用い、滑らかなバーニング関数の構成を可能にすること。
• パラコンパクトなバナッハ多様体（$L_k^p$-空間をモデルとする）上で、分割関数の議論を用いて局所的滑らかさと分割の性質を保証すること。
• $m_0 = k - 2/p > 1$のとき、Sobolev代数の性質を用いて、$C^\infty$-ベクトル場$f$に対する引き戻し写像$\Psi_f(h) = f \circ h$の滑らかさを証明すること。
• ホルダーの不等式を適用して、$L_k^p$-ノルムのべき乗の微分の有界性を検証し、フレシェ微分の存在を保証すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 環境空間の移行写像が連続である場合に、$J$-擬正則球面のモジュライ空間に$C^{m_0}$-滑らかさ構造を確立できるか。
• RQ2 非滑らかな再パrametrization群作用が存在するにもかかわらず、局所チャート内での$ar{\partial}_J$-切断が滑らかであるか。
• RQ3 適切さと自明な回転対称性の下で、$ar{\partial}_J$-切断の一般な$C^{m_0}$-滑らかな摂動が、$C^{m_0}$-滑らかなモジュライ空間をもたらすか。
• RQ4 摂動されたモジュライ空間の$C^{m_0}$-滑らかさを保証するために、幾何的データ（例：$J$, $ \omega$）に必要な最小の滑らかさは何か。
• RQ5 非滑らかな移行関数を持つ$L_k^p$-空間をモデルとするバナッハ多様体上に、滑らかなバーニング関数および分割関数をどのように構成できるか。

主な発見

• 一般の$C^{m_0}$-滑らかな摂動$\nu$に対して、$J$-擬正則球面のモジュライ空間$\mathcal{M}^\nu(J,A)$は$C^{m_0}$-滑らかである。ここで$m_0 = k - 2/p$である。
• $p$が偶数のとき、$L_k^p(\Sigma,V)$上の$L_k^p$-ノルムの$p$乗は滑らかであり、滑らかなバーニング関数の構成を可能にする。
• $p$が偶数で正のとき、パラコンパクトなバナッハ多様体（$L_k^p$-空間をモデルとする）上に滑らかな分割関数が存在する。
• $m_0 = k - 2/p > 1$のとき、$C^\infty$-ベクトル場$f$に対して、引き戻し写像$\Psi_f(h) = f \circ h$は滑らかであり、$L_k^p$-写像がバナッハ代数をなすことを保証する。
• $L_k^p$-ノルムの$p$乗の微分は有界かつ線形であり、ホルダーの不等式によりフレシェ微分可能性が確認される。
• すべての幾何的データが$C^\infty$-滑らかであるとき、共通の摂動が$r$に依存しない限り、摂動されたモジュライ空間は$C^\infty$-滑らかである。