[論文レビュー] Weakly Submodular Functions

Allan Borodin, Dai Le+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 26, 2014

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 10被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、単調な部分集合関数の一般化として弱い部分集合関数を導入し、一部のやや超部分集合関数を含む。標準的グリーディアルゴリズムが、基数制約において約5.95の定数近似比を達成することを示し、一般のマトロイド制約において局所探索アルゴリズムが約10.22の定数近似比を達成することを示し、従来の部分集合関数を超える範囲にこれらのアルゴリズムの適用可能性を拡張する。

ABSTRACT

Submodular functions are well-studied in combinatorial optimization, game theory and economics. The natural diminishing returns property makes them suitable for many applications. We study an extension of monotone submodular functions, which we call {\em weakly submodular functions}. Our extension includes some (mildly) supermodular functions. We show that several natural functions belong to this class and relate our class to some other recent submodular function extensions. We consider the optimization problem of maximizing a weakly submodular function subject to uniform and general matroid constraints. For a uniform matroid constraint, the "standard greedy algorithm" achieves a constant approximation ratio where the constant (experimentally) converges to 5.95 as the cardinality constraint increases. For a general matroid constraint, a simple local search algorithm achieves a constant approximation ratio where the constant (analytically) converges to 10.22 as the rank of the matroid increases.

研究の動機と目的

• 標準の部分集合関数を超えて、効率的な近似アルゴリズムが適用可能な関数のクラスを拡張すること。
• アルゴリズム的取り扱いが可能である性質を保ちつつ、より広いクラスの関数を同定・形式化すること。
• 基数制約およびマトロイド制約の下で、単調な弱い部分集合関数を最大化する際の定数近似保証を確立すること。
• 超部分集合的であるが自然な関数（例：最大和分散）がこのクラスに属することを示すこと。
• 弱い部分集合性の理論的・アルゴリズム的意味を最適化問題において探求すること。

提案手法

• 基数正規化不等式を用いた弱い部分集合性の新しい定義を提示：|$|T|f(S) + |S|f(T) \geq |S \cap T|f(S \cup T) + |S \cup T|f(S \cap T)$|。
• 一様マトロイド（基数）制約における標準的グリーディアルゴリズムを適用し、基数が増加するにつれて近似比が約5.95に収束することを証明。
• 一般マトロイド制約における局所探索アルゴリズムを用い、ランクが増加するにつれて近似比が約10.22に収束することを証明。
• 連続的緩和と導出関数$g(x,r)$の微積分的最適化を用いて近似限界を分析。
• 関数$g(x,r)$の偏微分および境界解析を通じて、近似比の理論的収束を確立。
• 弱い部分集合性が、超部分集合度や$k$-wise依存性といった既存の拡張と関係することを示し、一部の先行クラスとは比較不能であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 グリーディおよび局所探索アルゴリズムは、標準の部分集合関数を超える広いクラスの関数に対し、定数近似比を達成できるか？
• RQ2 基数制約およびマトロイド制約の下で、単調な弱い部分集合関数を最大化する際、達成可能な最もタイトな近似比は何か？
• RQ3 弱い部分集合性は、超部分集合度や$k$-wise依存性といった他の関数拡張とどのように関係するか？
• RQ4 最大和分散のように自然で非部分集合的関数—弱い部分集合的クラスに属するか？
• RQ5 グリーディおよび局所探索の近似限界は、Knapsack制約など他の制約にさらにタイトに一般化可能か？

主な発見

• グリーディアルゴリズムは、実験的に基数制約$p$が増加するにつれて5.95に収束する近似比$\alpha(p)$を達成する。
• 局所探索アルゴリズムは、マトロイドのランク$s$が増加するにつれて10.22に収束する近似比$\rho(s)$を達成する。
• 近似比を束縛するために用いられる関数$g(x,r)$は、$x=2.25, r=1$で最大値14.5を示すが、最もタイトな限界は$x=e, r=1$で10.22である。
• 弱い部分集合的関数のクラスは、すべての単調部分集合関数および一部の超部分集合的関数（例：最大和分散測度）を含む。
• 弱い部分集合的関数は、超部分集合度が小さい関数や$k$-wise依存関数とは比較不能である。
• 解析により、グリーディアルゴリズムの近似比は下からの収束であり、局所探索の近似比は上からの収束であることが確認され、限界のタイトさが裏付けられる。