[論文レビュー] Weakly True Concurrency and Its Logic

Yong Wang|arXiv (Cornell University)|Jun 21, 2016

Logic, programming, and type systems参考文献 9被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、静的イベント（τ）を素朴なイベント構造に統合し、真の並列性における弱い bisimilarity を捉えるためにモダール・ロジックを拡張することで、弱い真の並列性を導入する。拡張された論理 $μ\mathcal{L}^\tau$ が弱い歴史的保存性をもつ bisimilarity を完全に特徴づけることを確立し、静的イベントを考慮した枠組みにおいて、論理的および行動的同等性を統合する。

ABSTRACT

We firstly find the existence of silent event $τ$ in true concurrency (named weakly true concurrency) by defining weakly true concurrent behaviors and weakly true concurrent logics. Based on Paolo Baldan and Silvia Crafa's comprehensive work on (strongly) true concurrency, we find the correspondence between weakly true concurrent equivalences and weakly true concurrent logics.

研究の動機と目的

• 既存の真の並列性モデルに静的イベント（τ）が欠如していること、すなわち内部的および外部的行動が同一視されていることへの対処。
• 素朴なイベント構造に静的イベントを追加することで、弱い真の並列的動作を形式化すること。
• τ を目に見えないものとして扱う弱い並列的行動同等性（例えば、弱いポムセット、ステップ、および歴史的保存性をもつ bisimilarity）を定義すること。
• 既存の真の並列性ロジック（例えば、$μ\mathcal{L}$）を $μ\mathcal{L}^\tau$ に拡張し、弱い行動同等性を捉えること。
• 論理的同等性 $μ\mathcal{L}^\tau$ が弱い歴史的保存性をもつ bisimilarity と一致することを証明し、完全抽象性を確立すること。

提案手法

• 静的イベント τ を含むように素朴なイベント構造（PES）を拡張し、ラベル関数および因果関係／衝突関係を変更することで、τ を非可視イベントとして扱う。
• 可視イベントの集合 $X$ に対して、$C \xRightarrow{X} C'$ を $\xrightarrow{\tau^*} \xrightarrow{e} \xrightarrow{\tau^*}$ で定義する弱いポムセット遷移を定義する。ここで $e \in X$ である。
• イベント $X$ が互いに並列的かつ τ から分離されている場合に、弱いステップ遷移を導入する。
• 既存のモダール・ロジック $μ\mathcal{L}$ を、弱い遷移とイベントの順序を表現するための新しい演算子 $\langle\langle z\rangle\rangle\varphi$ および $(\mathbf{x},\overline{\mathbf{y}} \ll az)\varphi$ を用いて $μ\mathcal{L}^\tau$ に拡張する。
• 命題環境と最小固定点を用いた $μ\mathcal{L}^\tau$ の意味論的意味づけを定義し、Knaster-Tarski の定理により、well-defined であることを保証する。
• 無限交差拡張 $μ\mathcal{L}^{\tau,\infty}$ において、近似子による不動点展開が成立することを証明し、完全性の結果を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 静的イベント τ を因果関係および衝突関係を損なわずに真の並列性モデルに形式的に統合する方法は何か？
• RQ2 真の並列性の文脈において、弱い並列的行動同等性（例えば、弱いポムセット、ステップ、および歴史的保存性をもつ bisimilarity）の正しい定義は何か？
• RQ3 真の並列性において、弱い歴史的保存性をもつ bisimilarity を完全に特徴づけるようにモダール・ロジックを拡張できるか？
• RQ4 拡張されたロジック $μ\mathcal{L}^\tau$ が、弱い歴史的保存性をもつ bisimilarity と同じ同等性を誘導するか？
• RQ5 $μ\mathcal{L}^\tau$ の断片の論理的同等性は、それに対応する弱い行動同等性に関して完全抽象的か？

主な発見

• 論理 $μ\mathcal{L}^\tau$ は弱い歴史的保存性をもつ bisimilarity を完全に特徴づける。すなわち、$\approx_{hhp}$ と $\equiv_{\mu\mathcal{L}^\tau}$ は一致する。
• $μ\mathcal{L}^\tau$ が誘導する論理的同等性は、弱い歴史的保存性をもつ bisimilarity に関して完全抽象的である。
• 同等性 $\equiv_{\mu\mathcal{L}^\tau}$ が $\approx_{hhp}$ を含み、逆に $\approx_{hhp}$ が $\equiv_{\mu\mathcal{L}^\tau}$ を含むことから、完全抽象性が確立される。
• $μ\mathcal{L}^\tau$ の断片（例えば、$μ\mathcal{L}^\tau_{HM}$、$μ\mathcal{L}^\tau_s$、$μ\mathcal{L}^\tau_p$、$μ\mathcal{L}^\tau_{hp}$）の論理的同等性は、それぞれの弱い行動同等性を完全に特徴づける。
• $μ\mathcal{L}^{\tau,\infty}$ において、近似子による不動点展開が成立し、無限交差拡張のすべての論理式が有限の近似子を持つことが保証される。