[論文レビュー] Weakly turbulent solutions for the cubic defocusing nonlinear Schrödinger equation

J. Colliander, M. Keel+3 more|ArXiv.org|Aug 13, 2008

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 45被引用数 14

ひとこと要約

本稿は、$L^2$-ノルムと$H^1$-エネルギーの保存にもかかわらず、$s>1$ に対してより高いソボレフノルム $\

ABSTRACT

We consider the cubic defocusing nonlinear Schrödinger equation on the two dimensional torus. We exhibit smooth solutions for which the support of the conserved energy moves to higher Fourier modes. This weakly turbulent behavior is quantified by the growth of higher Sobolev norms: given any delta << 1, K >>1, s >1, we construct smooth initial data u_0 with ||u_0||_{{H}^s} < delta, so that the corresponding time evolution u satisfies ||u(T)||_{{H}^s} > K at some time T. This growth occurs despite the Hamiltonian's bound on ||u(t)||_{\dot{H}^1} and despite the conservation of the quantity ||u(t)||_{L^2}. The proof contains two arguments which may be of interest beyond the particular result described above. The first is a construction of the solution's frequency support that simplifies the system of ODE's describing each Fourier mode's evolution. The second is a construction of solutions to these simpler systems of ODE's which begin near one invariant manifold and ricochet from arbitrarily small neighborhoods of an arbitrarily large number of other invariant manifolds. The techniques used here are related to but are distinct from those traditionally used to prove Arnold Diffusion in perturbations of Hamiltonian systems.

研究の動機と目的

• 2次元立方非線形シュレーディンガー方程式の滑らかな解が、$L^2$-ノルムと$H^1$-エネルギーの保存にもかかわらず、$s>1$ に対してより高いソボレフノルム $H^s$ で任意に大きな増大を示すことができることを示すこと。
• 周波数支持を制御した初期データを設計することで、このような解を構築すること。
• 有限次元に切断されたNLS系における不変多様体間の制御された往復反復を介した弱い乱流のメカニズムを確立すること。
• 従来のアーノルド拡散手法とは異なる、ハミルトニアンPDEにおけるエネルギーカスケードの新しいアプローチを提供すること。

提案手法

• 著者たちは、NLS方程式をフーリエ係数の時間発展を記述する無限次元ODE系に還元する。
• フーリエモードのダイナミクスが元の系の有限次元共振切断版を形成するように、有限な周波数集合 $\Lambda$ を構築する。
• 本質的な共鳴相互作用を捉えた「おもちゃモデル」としてのODE系を導入し、拡散経路の明示的構成を可能にする。
• 初期データをある不変多様体の近くに設定し、微小な摂動を用いて、任意に多くの他の不変多様体との順次的相互作用を有する軌道を構築する。
• 微小摂動の効果を拡大するスケーリング論法を用い、$H^s$-ノルムにおける任意に大きな増大を実現する。
• 有限時間区間内において、切断系の解が元のNLS解の振る舞いをよく近似することを保証する近似補題を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2次元立方非線形シュレーディンガー方程式の滑らかな解は、$s>1$ に対して、$H^s$-ノルムで非有界な増大を示すことができるか？
• RQ2 初期 $H^s$-ノルムが任意に小さく、ある時刻に $H^s$-ノルムが任意に大きくとなるような解を構築することは可能か？
• RQ3 $L^2$-ノルムや$H^1$-エネルギーの増大がない状況下で、エネルギーがどのようにより高いフーリエモードへカスケードするのか、その動的メカニズムは何か？
• RQ4 有限次元近似と制御された不変多様体間の相互作用を用いて、NLSにおける弱い乱流を厳密に構成できるか？

主な発見

• 任意の $s>1$、$K\gg 1$、$\delta\ll 1$ に対して、2次元立方非線形シュレーディンガー方程式の滑らかなグローバル解 $u(t,x)$ が存在し、$\|u(0)\|_{H^s} \leq \delta$ かつある時刻 $T>0$ で $\|u(T)\|_{H^s} \geq K$ を満たす。
• 構築された解は、$L^2$-ノルムと$H^1$-エネルギーを保存しつつ、より高いフーリエモードへエネルギーが移行することを示す。このエネルギー移行は、$H^s$-ノルムの増大として定量的に測定可能である。
• このメカニズムは、NLS系の有限次元共振切断において、複数の不変多様体との微小で制御された相互作用の連鎖に依存している。
• 本研究は、従来のアーノルド拡散手法を避け、代わりに新しい周波数支持の設計とスケーリング論法を用いて微小摂動の効果を拡大している。
• 著者たちは、$\
• proof_strategy_and_justification_of_key_findings_and_conclusions_including_the_use_of_the_approximation_lemma_and_scaling_argument_and_the_contradiction_argument_for_the_nonexistence_of_asymptotically_linear_solutions_in_2d_cubic_nls_on_t2_with_the_contradiction_being_that_any_asymptotically_linear_solution_would_be_constant_in_space_and_thereby_contradict_the_nontrivial_energy_cascade.