[論文レビュー] Weierstrass filtration on Teichmuller curves and Lyapunov exponents

Fei Yu, Kang Zuo|arXiv (Cornell University)|Mar 27, 2012

Algebraic Geometry and Number Theory被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、双曲的分岐多様体と低総数の非可変ストラタにおけるリャプノフ指数の和を計算するため、テイヒミュラー曲線にウェイエルシュトラスフィルトレーションを導入する。ホッジ bundle のハーダー＝ナラシムハンフィルトレーションを構成し、そのgraded quotient からウェイエルシュトラス指数を定義することで、リャプノフ指数の和に対する明示的公式を導出し、既知の結果を回復するとともに、従来未解決であった、例えば genus 5 のストラタを含む非可変性を証明する。

ABSTRACT

We define the Weierstrass filtration for Teichmuller curves and construct the Harder-Narasimhan filtration of the Hodge bundle of a Teichmuller curve in hyperelliptic loci and low-genus nonvarying strata. As a result we obtain the sum of Lyapunov exponents of Teichmuller curves in these strata.

研究の動機と目的

• テイヒミュラー曲線における双曲的分岐多様体および低総数非可変ストラタにおけるリャプノフ指数の和を統一的に計算するための方法を開発すること。
• 特に、$\overline{\Omega\mathcal{M}}^{even}_{4}(4,2)$ や $\overline{\Omega\mathcal{M}}^{odd}_{5}(6,2)$ のような未解決ストラタにおいて、非可変なリャプノフ指数の和に関する既存の証明のギャップを埋めること。
• ホッジ bundle のハーダー＝ナラシムハンフィルトレーションを用いてウェイエルシュトラス指数を定義・計算し、代数的幾何学と力学的不変量を結びつけること。
• シーゲル＝ヴィーチ定数の議論に依存しない、ウェイエルシュトラスフィルトレーションを用いた非可変なリャプノフ指数の和の別証明を提供すること。

提案手法

• ホリモーフィック微分形式の部分線形系統の次元を用いて、テイヒミュラー曲線上のホッジ bundle $f_*\omega_{S/C}$ におけるウェイエルシュトラスフィルトレーションを構成する。
• ハーダー＝ナラシムハンフィルトレーションのgraded quotient の正規化された次数としてウェイエルシュトラス指数 $w_i$ を定義する：$w_i = \mathrm{deg}(V_i/V_{i-1}) / \mathrm{deg}(\mathcal{L})$。
• Splitting Lemma I および II を適用して、複数の節に沿ったラインバンドルの押し出しを分解し、$f_*\mathcal{O}(m_i D_i)$ の明示的計算を可能にする。
• リーマン・ロッホの定理およびクリフォードの定理を用いて、特異曲線上の特別な分岐点の $h^0$ を計算し、フィルトレーションが適切に定義され、バンドルがラインバンドルの直和に分解されることを保証する。
• 点付きブリル＝ノイザー分岐点および幾何学的に定義された分岐点に関する既知の結果を活用し、テイヒミュラー曲線が特定の領域を避けることから、非可変性が導かれる。
• 低総数の場合、特に genus 3, 4, 5 のストラタにおいて、特異点および退化のケースバイケース分析を用いて、明示的な計算によりウェイエルシュトラス指数の公式を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 双曲的分岐多様体および低総数非可変ストラタにおけるテイヒミュラー曲線のリャプノフ指数の和を、一様な代数的幾何学的枠組みで一括して計算できるか？
• RQ2 非双曲的低総数ストラタにおけるテイヒミュラー曲線のホッジ bundle のハーダー＝ナラシムハンフィルトレーションの正確な構造は何か？
• RQ3 フィルトレーションから導かれるウェイエルシュトラス指数は、これらのストラタにおけるリャプノフ指数の和をどのように符号化するか？
• RQ4 特定のストラタにおいてリャプノフ指数の和がテイヒミュラー曲線全体で一定であるのはなぜか？また、シーゲル＝ヴィーチ定数に依存せずにこれを証明できるか？
• RQ5 $\overline{\Omega\mathcal{M}}_g(2g-2)$ におけるテイヒミュラー曲線のウェイエルシュトラスギャップ列は、ウェイエルシュトラス指数を決定づける役割を果たすか？

主な発見

• テイヒミュラー曲線が $\overline{\Omega\mathcal{M}}_g(m_1,\dots,m_k)$ の双曲的分岐多様体にある場合、ウェイエルシュトラス指数は $w_i = \frac{1}{4} \sum_{d_j \text{ odd}} \frac{1}{d_j + 2}$ で与えられ、既知のリャプノフ指数の和が回復される。
• $\overline{\Omega\mathcal{M}}^{hyp}_g(2g-2)$ のストラタでは、ウェイエルシュトラス指数は $w_i = \frac{k_i}{2g-1}$ であり、ここで $k_i$ は $\{1,3,5,\dots,2g-1\}$ のギャップ列から $i$ 番目に大きな要素である。
• $g \leq 5$ における $\overline{\Omega\mathcal{M}}^{odd}_g(2g-2)$ では、ウェイエルシュトラス指数は $w_i = \frac{k_i}{2g-1}$ で与えられ、ギャップ列は $\{1,2,\dots,g-1,2g-1\}$ であり、ホッジ bundle はラインバンドルの直和に分解される。
• genus 4 において、ストラタ $\overline{\Omega\mathcal{M}}^{even}_4(4,2)$ のリャプノフ指数の和は $\frac{32}{15}$、$\overline{\Omega\mathcal{M}}^{odd}_4(4,2)$ では $\frac{29}{15}$ であり、両者ともウェイエルシュトラス指数によって計算された。
• genus 5 において、ストラタ $\overline{\Omega\mathcal{M}}^{odd}_5(6,2)$ のリャプノフ指数の和は $\frac{46}{21}$ であり、ホッジ bundle はラインバンドルの直和に分解され、非可変性が確認された。
• ウェイエルシュトラスフィルトレーション法により、従来未解決であった $\overline{\Omega\mathcal{M}}^{even}_4(4,2)$ および $\overline{\Omega\mathcal{M}}^{odd}_5(6,2)$ のケースを含む、すべての低総数非可変ストラタにおける非可変なリャプノフ指数の和の統一的証明が得られた。