[論文レビュー] Weight Distributions of a Class of Cyclic Codes with Arbitrary Number of Zeros II

Jing Yang, Lingli Xia+1 more|arXiv (Cornell University)|May 24, 2014

Coding theory and cryptography参考文献 34被引用数 14

ひとこと要約

本稿は、任意の数の零点（t ≥ 2）を持つ新しい可約巡回符号の重み分布を、高度なヤコビ和理論および有限体上の組合せ恒等式を用いて決定する。主な貢献は、t = e−1 および N = 2 の条件下での重み分布の完全な特徴付けであり、これまでの研究が高々3個の零点を持つ符号に限られていたのを拡張している。

ABSTRACT

Cyclic codes are an important class of linear codes, whose weight distribution have been extensively studied. So far, most of previous results obtained were for cyclic codes with no more than three zeros. Recently, \cite{Y-X-D12} constructed a class of cyclic codes with arbitrary number of zeros, and computed the weight distributions for several cases. In this paper, we determine the weight distribution for a new family of such codes. This is achieved by certain new methods, such as the theory of Jacobi sums over finite fields and subtle treatment of some complicated combinatorial identities.

研究の動機と目的

• 2個または3個の零点を持つ符号に限られていた、巡回符号の重み分布結果を、それらを越えて拡張すること。
• t ≥ 2 個の零点を持つ一般の可約巡回符号族の重み分布を、特に t = e−1 および N = 2 の場合に調査すること。
• t = e−1 および N = 2 の条件下で、一般の場合の重み分布を決定する計算式を構築すること。
• 高零点数の巡回符号における指数和および組合せ恒等式の複雑さを、高度な数論的道具を用いて克服すること。
• 数学的複雑性のため、これまで未解決であった符号族の重み分布を系統的に計算するフレームワークを提供すること。

提案手法

• 有限体上のヤコビ和理論を用いて、重み分布に関連する指数和を分析する。
• 円分理論およびガウス周期を適用して、複雑な指標和を分解・評価する。
• 添え字の部分集合および偶奇条件を含む繊細な組合せ恒等式を用いて、和式の評価を簡略化する。
• 符号のパリティ検査多項式の構造とその零点を分析することで、一般の重み分布の式を導出する。
• ヤコビ和の対称性および不変性の性質を用いて、場合分けの数を減らし、計算を簡素化する。
• キャラクターおよびその積の和の評価を可能にする、鍵となる組合せ恒等式（補題8および補題9）を導入し、証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 t = e−1 および N = 2 の条件下で、任意の数の零点（t ≥ 2）を持つ可約巡回符号族 𝒞_(a₁,…,aₜ) の重み分布は何か？
• RQ2 ヤコビ和およびガウス周期を、このような符号の重み分布を系統的に計算するためにどのように応用できるか？
• RQ3 t = e−1 および N = 2 の場合に、t の具体的な値に依存せず、一般の計算式を導出できるか？
• RQ4 -1 が 𝔽_r において平方数であるという条件が、重み分布の計算をどのように簡略化するか？
• RQ5 符号の零点に構造的または対称的性質があるか。それらにより、t ≥ 2 のすべてのケースに対して一貫した重み分布の取り扱いが可能になるか？

主な発見

• t = e−1 および N = 2 の条件下で、2|a および e|(q^{m/2}−1 を満たすとき、符号族 𝒞_(a₁,…,aₜ) の重み分布は完全に決定される。
• t = e−1 ≥ 2 および N = 2 の場合に、一般の計算式が導出され、任意の t に対して体系的な計算が可能になる。
• t = e−1 = 3 の特別な場合において、重み分布が明示的に計算され、特徴付けられる。
• 和 Ω_{i₁…iᵤiᵤ₊₁} の値が添え字 i₁,…,iᵤ₊₁ の順序に依存しないことが示され、分析が簡素化される。
• u 個のゼロと v 個のワンを含む Ω_{0…0₁…1} の式は、母関数を用いて導出され、(1+x)^u(1−x)^v を √r および −√r で評価することで得られる。
• [37] で先行した研究を拡張し、これまで未解決であった3個を超える零点を持つ場合を解消した。