[論文レビュー] Weight filtration on the cohomology of algebraic varieties

Masaki Hanamura, Morihiko Saito|ArXiv.org|May 23, 2006

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 13被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、任意の代数閉体上での代数的多様体のコンパクト台付きエタールコホモロジーに、標準的な重みフィルトレーションを確立し、ボレル＝ムーアホモロジーの中間重み部がコンパクト化の交差ホモロジーの商であることを証明する。主な結果は、ガブラーの交差複体に対する純粋性定理から導かれる、ねじれた交差ホモロジーからボレル＝ムーアホモロジーの重みごとのグレーディングへの標準的同型が全射であるということである。

ABSTRACT

We show that the etale cohomology (with compact supports) of an algebraic variety $X$ over an algebraically closed field has the canonical weight filtration $W$, and prove that the middle weight part of the cohomology with compact supports of $X$ is a subspace of the intersection cohomology of a compactification $X'$ of X, or equivalently, the middle weight part of the (so-called) Borel-Moore homology of $X$ is a quotient of the intersection cohomology of $X'$. We are informed that this has been shown by A. Weber in the case $X$ is proper (and $k=\bC$) using a theorem of G. Barthel, J.-P. Brasselet, K.-H. Fieseler, O. Gabber and L. Kaup on morphisms between intersection complexes. We show that the assertion immediately follows from Gabber's purity theorem for intersection complexes.

研究の動機と目的

• 任意の代数閉体上での代数的多様体のコンパクト台付きエタールコホモロジーに、標準的重みフィルトレーションが存在することを確立すること。
• ボレル＝ムーアホモロジーの中間重み部が、コンパクト化の交差ホモロジーの商であることを示すこと。
• バートル＝エイドゥルトらのサイクル類の持ち上げに関する先行結果を精緻化し、ねじれた交差ホモロジーからボレル＝ムーアホモロジーの重みグレーディングへの標準的同型が全射であることを証明すること。
• ガブラーの純粋性定理を用いて、交差複体間の準同型に関する定理を、任意の代数閉体上で直接的に証明すること。

提案手法

• 交差複体のガブラーの純粋性定理を用いて、任意の代数閉体上でのコホモロジーに重みフィルトレーションを確立する。
• ボレル＝ムーアホモロジーとコンパクト台付きコホモロジーの双対性を適用し、コホモロジーの重みフィルトレーションをホモロジーのグレーディングに結びつける。
• ねじれた交差ホモロジー $\mathrm{IH}^{2n-j}(\overline{X})(n)$ から重みグレーディング $\mathrm{Gr}^{W}_{-j}H_{j}^{\mathrm{BM}}(X)$ への標準的同型を構成し、その全射性を証明する。
• 分解定理と perverse ファイブレーションの性質を用いて、この同型が重みフィルトレーションを経由して因子化されることを示し、純粋な perverse ファイブレーションの半単純性を応用する。
• 混合Hodge構造の理論と $k=\mathbb{C}$ の場合の比較定理を適用し、既知の結果と整合することを検証する。
• この同型の全射性がガブラーの純粋性定理から直接導かれることが示され、従来の帰納的または幾何的議論を回避する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の代数閉体（正標数を含む）上での代数的多様体のコンパクト台付きエタールコホモロジーに、重みフィルトレーションが存在するか？
• RQ2 ボレル＝ムーアホモロジーの中間重み部は、コンパクト化の交差ホモロジーの自然な商であるか？
• RQ3 純粋性定理を用いて、ねじれた交差ホモロジーからボレル＝ムーアホモロジーの重みグレーディングへの標準的同型が全射であることを示せるか？
• RQ4 ガブラーの純粋性定理は、$k=\mathbb{C}$ または追加の幾何的仮定を必要とせずに、交差複体間の準同型を直接証明するか？
• RQ5 固有射の下での perverse ファイブレーションの直接像が、交差複体を含む標準的分解をもたらす条件は何か？

主な発見

• 任意の代数閉体上での代数的多様体のコンパクト台付きエタールコホモロジーの重みフィルトレーションは、標準的かつ正しく定義されている。
• 標準的同型 $\mathrm{IH}^{2n-j}(\overline{X})(n) \to \mathrm{Gr}^{W}_{-j}H_{j}^{\mathrm{BM}}(X)$ は全射であり、ボレル＝ムーアホモロジーの中間重み部が交差ホモロジーの商であることを意味する。
• この同型の全射性はガブラーの交差複体に対する純粋性定理から直接導かれるため、概念的かつ一般化された証明が得られる。
• バートル＝エイドゥルト らの先行結果を精緻化し、代数的サイクル類が非標準的に交差ホモロジーに持ち上がるが、今や重み理論的枠組みが標準的であることが示された。
• $\mathrm{Gr}^{W}_{j}H_{c}^{j}(X) \to \mathrm{IH}^{j}(\overline{X})$ は単射であり、主定理の全射の双対である。
• 特異点の解消 $f: X \to Y$ の場合、重みスペクトル系列により $\mathrm{Gr}^{W}_{n}H^{n}(Y)$ が $H^{n}(X)$ に埋め込まれ、したがって $\mathrm{IH}^{n}(Y)$ に埋め込まれる。これは既知のホッジ理論的結果と整合的である。