[論文レビュー] Weight functions and log-optimal investment portfolios

Yuri Suhov, Izabella Stuhl+1 more|arXiv (Cornell University)|May 6, 2015

Economic theories and models参考文献 7被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、リターン評価における異なる結果への重みを割り当てる重み関数を導入することで、対数最適投資ポートフォリオ理論を拡張する。特定の条件下で、重み付き対数成長率がスーパーマルティンゲールであることを証明し、最適戦略は重み関数の形に依存しない比例ベッティングであることを示す。帰納的に、条件が満たされた場合、これはマルティンゲールとなる。

ABSTRACT

Following the paper by Algoet--Cover (1988), we analyse log-optimal portfolios where return evaluation includes `weights' of different outcomes. The results are twofold: (A) under certain conditions, logarithmic growth rate is a supermartingale, and (B) the optimal (martingale) investment strategy is a proportional betting; it does not depend on the form of the weight function, although the optimal rate does. The existence of an optimal investment strategy has been established earlier in a great generality by Kramkov--Schachermayer (2003) although our underlying assumptions are different.

研究の動機と目的

• 標準的な仮定を超えて、任意の重み関数を組み込むことによって、対数最適ポートフォリオ理論を一般化すること。
• 重み付き対数成長率がスーパーマルティンゲールである条件を確立すること。
• 重み付きリターン評価下での最適投資戦略の形を同定すること。
• 重み関数の形にかかわらず、最適戦略が比例ベッティングのままであることを示すこと。
• 重み付き対数最適ポートフォリオにおけるマルティンゲール戦略の存在に必要な明示的条件を提供すること。

提案手法

• 動的意思決定を可能にするために、過去の結果 $ \mathfrak{F}_{n-1} $ に対して可測な予測可能な投資戦略 $ C_n $ を用いる。
• 重み関数 $ \varphi_j $ を用いて重み付き対数成長率 $ S_N = \sum_{j=1}^N \varphi_j(\varepsilon_j; \underline{\varepsilon}_1^{j-1}) \log \frac{Z_j}{Z_{j-1}} $ を定義する。ここで $ \varphi_j $ は非負の重み関数である。
• 補助関数 $ b_n(x_n) $ を用いた測度の変更を適用し、$ S_n - \alpha n $ のスーパーマルティンゲールおよびマルティンゲール性の条件を導出する。
• 2つの重要な条件を課す：(1) $ \int \varphi_n(x_n; \underline{\varepsilon}_1^{n-1}) b_n(x_n) g_n(x_n) d\mu_n(x_n) = 0 $ a.s. であり、(2) $ \int \varphi_n b_n d\mu_n \leq \mathbb{E}[\varphi_n | \mathfrak{F}_{n-1}] $ a.s. である。
• 離散的および連続的設定における最適成長率 $ \alpha $ の明示的表現を導出する。これにはガウス分布およびi.i.d.ケースを含む。
• リターン関数 $ g(x) $ が $ \Sigma_0 $ と $ \Sigma $ を含む特定の関数的形を満たす場合、最適戦略は比例ベッティング $ C_n = D Z_{n-1} $（$ D \in (0,1) $）であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 重み付き対数成長率 $ S_N $ がどのような条件下でスーパーマルティンゲールとなるか。
• RQ2 重み関数が導入された場合でも、最適投資戦略が比例ベッティングのままであるか。
• RQ3 重み付き成長過程がマルティンゲールとなるために、リターン関数 $ g(x) $ が満たすべき関数的形は何か。
• RQ4 最適成長率 $ \alpha $ は、重み関数 $ \varphi(x) $ およびその背後にある分布にどのように依存するか。
• RQ5 結果は、ガウス分布を伴う $ \mathbb{R}^d $ の連続的結果空間へと拡張可能か。

主な発見

• すべての予測可能な戦略 $ C_n $ について、$ 1 + \frac{C_n g_n(\varepsilon_n)}{Z_{n-1}} > 0 $ を満たす限り、重み付き対数成長率 $ S_n - \alpha n $ はスーパーマルティンゲールである。ここで $ \alpha $ は期待成長率の上界である。
• マルティンゲール構造が成立するのは、リターン関数 $ g(x) $ が $ g(x) = \frac{1}{D} \left\{ [\det(\Sigma_0 \Sigma^{-1})]^{1/2} e^{-x^T(\Sigma^{-1} - \Sigma_0^{-1})x/2} - 1 \right\} $ を満たし、かつ $ C_n = D Z_{n-1} $（$ D \in (0,1) $）である場合に限る。
• 最適戦略は、重み関数の形に依存しない比例ベッティング $ C_n = D Z_{n-1} $ であるが、最適成長率 $ \alpha $ は $ \varphi $ に依存する。
• 離散的ケースで $ m=2 $ の場合、マルティンゲール戦略は $ E_1 = -E_2 $、$ \varphi(E_1) = \varphi(E_2) $、および $ D = \frac{2p_1 - 1}{E_1} $ を満たす場合にのみ存在し、このとき $ C_n = \frac{Z_{n-1}}{E_1}(2p_1 - 1) $ となる。
• i.i.d.ガウス的結果 $ \varepsilon_n \sim N(0, \Sigma) $ の場合、最適成長率は $ \alpha = \frac{1}{[(2\pi)^d \det \Sigma]^{1/2}} \int_{\mathbb{R}^d} \varphi(x) e^{-x^T \Sigma^{-1}x/2} \cdot \frac{1}{2} \left\{ x^T(\Sigma_0^{-1} - \Sigma^{-1})x + \log[\det(\Sigma_0 \Sigma^{-1})] \right\} dx $ で与えられる。
• マルティンゲール戦略の存在は、重み関数 $ \varphi $ とリターン関数 $ g $ が積分条件 (37) および (38) を満たす場合にのみ保証される。これにより、ドリフトがゼロとなる。