[論文レビュー] Weight multiplicities and Young tableaux through affine crystals

Jang Soo Kim, Kyu‐Hwan Lee+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 30, 2017

Algebraic structures and combinatorial models被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、有限およびアフィン古典的リー代数の最高重み加群における重み多重度と等数的な組合せ的モデルとして、pspinq剛体ヤング盤を導入する。クリスタル基底理論、挿入アルゴリズム（例えば、ロビンソン＝シェンステッド）および直交群上の積分を組み合わせることで、重み多重度の明示的閉形式式が導かれる。これにより、パスカル、カタラン、モーツキン、リオーダン、ベッセルの三角形との関係が明らかになる。特に、型B、DおよびアフィンA(1)、A(2)において、レベルk ≤ 6およびk → ∞のときの関係が示される。

ABSTRACT

The weight multiplicities of finite dimensional simple Lie algebras can be computed individually using various methods. Still, it is hard to derive explicit closed formulas. Similarly, explicit closed formulas for the multiplicities of maximal weights of affine Kac--Moody algebras are not known in most cases. In this paper, we study weight multiplicities for both finite and affine cases of classical types for certain infinite families of highest weights modules. We introduce new classes of Young tableaux, called the {\em $($spin$)$ rigid tableaux}, and prove that they are equinumerous to the weight multiplicities of the highest weight modules under our consideration. These new classes of Young tableaux arise from crystal basis elements for dominant maximal weights of the integrable highest weight modules over affine Kac--Moody algebras. By applying combinatorics of tableaux such as the Robinson--Schensted algorithm and new insertion schemes, and using integrals over orthogonal groups, we reveal hidden structures in the sets of weight multiplicities and obtain explicit closed formulas for the weight multiplicities. In particular we show that some special families of weight multiplicities form the Pascal, Catalan, Motzkin, Riordan and Bessel triangles.

研究の動機と目的

• 有限およびアフィン古典的リー代数における重み多重度の明示的閉形式式を導出すること、特に主最大重みの場合に焦点を当てる。
• 最高重み加群における重み多重度と等数的な組合せ的モデル「pspinq剛体ヤング盤」を確立すること。
• クリスタル基底理論と対称関数の積分を用いて、重み多重度集合に隠された代数的および組合せ的構造を明らかにすること。
• 母関数および積分評価を用いて、重み多重度をパスカル、カタラン、モーツキン、リオーダン、ベッセルの三角形といった古典的組合せ的数列と結びつけること。
• 既知の結果を型A(1)nにおけるレベル2を超えて、B、C、D型およびそれらのアフィン版を含む他の古典的型へ拡張すること。

提案手法

• アフィンカク＝ムーディ代数の可解な最高重み加群のクリスタル基底要素から導かれる新しい組合せ的対象として、pspinq剛体ヤング盤を導入する。
• ロビンソン＝シェンステッド挿入アルゴリズムおよび新規の挿入スキームを用いて、ヤング盤と重み多重度を関連付ける。
• 特にdet(X)およびTr(X)^mを含む対称関数のトレースを評価するため、直交群Op(k)上の積分を用いる。
• ハール測度の積分を評価するため、ウェイの積分公式および直交行列の固有値確率密度を活用する。
• 二項係数およびカタランに類似した項を含む行列の行列式を用いて、閉形式の式を導出する。
• レベルk → ∞における極限を分析することで、重み多重度と古典的組合せ的三角形（例えば、カタラン、モーツキン）との関係を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 既知の再帰的または和形式の方法を超えて、有限およびアフィン古典的リー代数における重み多重度の明示的閉形式式を導出できるか？
• RQ2 アフィンカク＝ムーディ加群の主最大重みにおける重み多重度と等数的な組合せ的構造（例えば、ヤング盤、格子パス）は何か？
• RQ3 重み多重度列は、パスカル、カタラン、モーツキン、リオーダンの三角形といった古典的組合せ的三角形とどのように関係しているか？
• RQ4 レベルk → ∞における重み多重度の漸近的挙動は何か？また、ベッセル数とどのように関連しているか？
• RQ5 直交群上の積分を用いて、行数が制限された標準ヤング盤の個数の正確な公式を導出できるか？

主な発見

• m個のセルと高々k行からなる標準ヤング盤の個数は、セルバーグ型積分で与えられる：|Spk)ₘ| = ∫_{Op(k+1)} (1 - det(X))(1 + Tr(X))^m dµ(X)。
• 偶数k = 2ℓの場合、|Sp2ℓ)ₘ| = ∑_{t₁+⋯+tℓ=m} (m! / (t₁!⋯tℓ!)) × det( [tᵢ + 2ℓ - i - j]_{i,j=1}^ℓ )² であり、直交行列の固有値積分を用いて明示的に評価可能である。
• 奇数k = 2ℓ+1の場合、|Sp2ℓ+1)ₘ| = ∑_{t₀+⋯+tℓ=m} (m! / (t₀!⋯tℓ!)) × det( C([tᵢ + 2ℓ - i - j]/2) )² であり、ここでC(x) = (2x choose x)/(x+1)（x ∈ ℕのとき）、さもなくば0である。
• 型BₙおよびDₙにおけるレベルk = 2の重み多重度はカタラン三角形に対応し、レベルk = 3ではモーツキンおよびリオーダンの三角形が得られる。
• k → ∞において、重み多重度列はベッセル三角形に収束し、直交群上のトレースおよび行列式を含む明示的積分表現が得られる。
• 3×3のカタランに類似た係数の行列式を用いた二重和の公式を|Sp6)ₘ|について導出し、k ≤ 5の既知の結果を拡張する。