[論文レビュー] Weight structures and motives; comotives, coniveau and Chow-weight spectral sequences: a survey

Mikhail V. Bondarko|arXiv (Cornell University)|Mar 2, 2009

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用数 3

ひとこと要約

このサーベイは、三角圏におけるt-構造の双対的対応として重み構造を確立し、コhomology理論全体にわたる重み複体、フィルトレーション、およびスペクトル系列の構成を可能にする。これは古典的重みスペクトル系列、コンアイエュの系列およびアティヤ＝ヒルツェブルのスペクトル系列を統一し、関数体および滑らかさの射影極限のためのコモチーブの三角圏を導入する。

ABSTRACT

This is a survey of author's results on weight structures and Voevodsky's motives. Weight structures are natural counterparts of t-structures (for triangulated categories) introduced by the author. They allow to construct weight complexes, weight filtrations, and weight spectral sequences for various cohomology theories. Partial cases of the latter are: 'classical' weight spectral sequences (for singular and etale cohomology), coniveau spectral sequences, and Atiyah-Hirzebruch spectral sequences. All of those are mentioned in the current paper. The details, proofs, and several more results could be found in other papers of the author (cited here). We also mention a certain triangulated category of comotives that contains reasonable (co)motives for all function fields (and also of other projective limits of smooth varieties).

研究の動機と目的

• 三角圏におけるt-構造の双対的アナロジーとして重み構造を発展させること。
• 重み構造を通じて、コンアイエュの系列やアティヤ＝ヒルツェブルの系列を含む古典的スペクトル系列を統一的な枠組みで扱うこと。
• 関数体および滑らかな多様体の射影極限のための合理的な（コ）モチーブを捉える三角圏のコモチーブを構成すること。
• モチーブコhomologyおよび関連理論における重みフィルトレーションおよび重みスペクトル系列の体系的基盤を提供すること。

提案手法

• 三角圏における重み構造をt-構造の双対として導入し、フィルトレーションおよびスペクトル系列の構成を可能にする。
• 重み構造を用いて、さまざまなコhomology理論に対する重み複体および重みフィルトレーションを導出する。
• 既知のスペクトル系列（例：コンアイエュの系列やアティヤ＝ヒルツェブルの系列）を重みスペクトル系列の特別な場合として再構成する。
• 滑らかな多様体の射影極限を用いてコモチーブの三角圏を構成し、関数体上のモチーブと整合性を持つようにする。
• 重み構造の形式的性質を用いて、モチーブコhomologyとボレル＝ムーアホモロジーおよび他のコhomological不変量との関係を明らかにする。
• 重み構造の普遍的性質を活用して、異なるコhomological設定にわたるスペクトル系列の構成を一般化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 重み構造は、どのようにして三角圏における重みフィルトレーションおよびスペクトル系列を体系的に構成するか？
• RQ2 コンアイエュの系列やアティヤ＝ヒルツェブルの系列といった古典的スペクトル系列は、どのようにして重みスペクトル系列の特別な場合として現れるか？
• RQ3 重み構造は、関数体および滑らかな多様体の射影極限のための整合性のあるコモチーブの圏を定義する上で果たす役割は何か？
• RQ4 モチーブおよびコhomologyの文脈において、t-構造の理論を重み構造がどのように双対化するか？
• RQ5 重み構造は、代数的幾何学におけるコンアイエュのフィルトレーションおよびチャウ＝重みフィルトレーションにどのような意味を持つのか？

主な発見

• 重み構造は、さまざまなコhomology理論にわたる重みフィルトレーションおよびスペクトル系列の体系的枠組みを提供する。
• コンアイエュの系列やアティヤ＝ヒルツェブルの系列を含む古典的スペクトル系列が、重みスペクトル系列の特別な例として示された。
• すべての関数体および滑らかな多様体の射影極限のための合理的な（コ）モチーブを含む三角圏のコモチーブが構成された。
• 重み構造の形式的性質により、モチーブコhomologyおよびコhomologicalフィルトレーションの統一的取り扱いが可能になり、コンアイエュのフィルトレーションの理解が深まった。
• 重み複体および重みスペクトル系列は重み構造から導出され、コhomological不変量の計算に強力なツールを提供する。
• t-構造と重み構造の双対性が形式化され、モチーブホモトピー理論および代数的K理論におけるより広範な応用が可能になった。