[論文レビュー] Weight structures for triangulated categories: weight filtrations, weight spectral sequences and weight complexes; applications to motives and to the stable homotopy category

Mikhail V. Bondarko|arXiv (Cornell University)|Apr 30, 2007

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、t-構造の双対的枠組みを提供する三角関係のカテゴリにおける重み構造を導入し、K(B)における「ばかげた切り詰め」を公理化する。重みスペクトル系列の標準的構成、K₀(C) ≅ K₀(Hw) であるK理論の同型の証明、そしてモチーフや安定ホモトピー論への応用により、デリーニのおよびアティヤ＝ヒルツブルフのスペクトル系列が特別な場合として回復される。

ABSTRACT

This paper is dedicated to triangulated categories endowed with weight structures (a new notion; D. Pauksztello has independently introduced them as co-t-structures). This axiomatizes the properties of stupid truncations of complexes in $K(B)$. We also construct weight structures for Voevodsky's categories of motives and for various categories of spectra. A weight structure $w$ defines Postnikov towers of objects; these towers are canonical and functorial 'up to morphisms that are zero on cohomology'. For $Hw$ being the heart of $w$ (in $DM_{gm}$ we have $Hw=Chow$) we define a canonical conservative 'weakly exact' functor $t$ from our $C$ to a certain weak category of complexes $K_w(Hw)$. For any (co)homological functor $H:C o A$ for an abelian $A$ we construct a weight spectral sequence $T:H(X^i[j])\implies H(X[i+j])$ where $(X^i)=t(X)$; it is canonical and functorial starting from $E_2$. This spectral sequences specializes to the 'usual' (Deligne's) weight spectral sequences for 'classical' realizations of motives and to Atiyah-Hirzebruch spectral sequences for spectra. Under certain restrictions, we prove that $K_0(C)\cong K_0(Hw)$ and $K_0(End C)\cong K_0(End Hw)$. The definition of a weight structure is almost dual to those of a t-structure; yet several properties differ. One can often construct a certain $t$-structure which is 'adjacent' to $w$ and vice versa. This is the case for the Voevodsky's $DM^{eff}_-$ (one obtains certain new Chow weight and t-structures for it; the heart of the latter is 'dual' to $Chow^{eff}$) and for the stable homotopy category. The Chow t-structure is closely related to unramified cohomology.

研究の動機と目的

• t-構造の双対的枠組みとして、K(B)における「ばかげた切り詰め」にインspiredされた、三角関係のカテゴリにおける重み構造の導入と公理化を目的とする。
• ボエバドスキーのモチーフのカテゴリおよびスペクトラのカテゴリにおける重み構造の構成を目的とする。
• Hwが重み構造のハートであるとき、C → K_w(Hw) なる標準的かつ忠実な弱正確関手tを定義することを目的とする。
• 任意の（コ）ホモロジー的関手Hに対して、H(X^i[j]) ⇒ H(X[i+j]) なる標準的で関手的な重みスペクトル系列Tを確立することを目的とする。
• 適切な条件下で、K₀(C) ≅ K₀(Hw) および K₀(End C) ≅ K₀(End Hw) を証明し、カテゴリのK理論とそのハートのK理論との関係を明らかにすることを目的とする。

提案手法

• t-構造の公理の双対的公理により、三角関係のカテゴリCにおける重み構造wを定義し、「ばかげた切り詰め」の性質を捉える。
• 各対象に対して、コホモロジー上で消える射にまで同型であるが、関手的かつ標準的なポストニコフ塔を構成する。
• 重み0の対象のフル部分カテゴリとしてハートHwを定義し、Hw上の弱複体のカテゴリK_w(Hw)を構成する。
• 対象をその重み複体へ写像する、標準的かつ忠実な「弱正確」関手t: C → K_w(Hw) を定義する。
• tによるXの像から、E₂頁が重み複体のコホモロジーによって決定される重みスペクトル系列T: H(X^i[j]) ⇒ H(X[i+j]) を導出する。
• 重み構造とt-構造の間の随伴関係を確立し、特にDM^{eff}_-および安定ホモトピー圏において、双対的チャウ構造が得られることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 t-構造の双対的枠組みとして、三角関係のカテゴリにおける「ばかげた切り詰め」の性質をどのように公理化できるか？
• RQ2 ボエバドスキーのモチーフやスペクトラなどのカテゴリにおいて、重み構造を体系的に構成できるか？
• RQ3 重みスペクトル系列は、デリーニのものやアティヤ＝ヒルツブルフのものといった既知のスペクトル系列をどの程度回復できるか？
• RQ4 三角関係のカテゴリのK理論とその重みハートのK理論との関係は何か？
• RQ5 重み構造はt-構造とどのように相互作用するか？また、主要なカテゴリにおいて、双対的または隣接する構造を定義するために使用できるか？

主な発見

• 三角関係のカテゴリCにおける重み構造wは、各対象に対して、コホモロジー上で消える射にまで同型であるが、関手的かつ標準的なポストニコフ塔を誘導する。
• この構成により、E₂頁から始まる標準的で関手的な重みスペクトル系列T: H(X^i[j]) ⇒ H(X[i+j]) が得られ、これはモチーブに対してデリーニの重みスペクトル系列、スペクトラに対してアティヤ＝ヒルツブルフのスペクトル系列に特殊化される。
• Hwが重み構造のハートであるとき、対象をHw上の弱複体のカテゴリK_w(Hw) へ写像する忠実で弱正確な関手t: C → K_w(Hw) が存在する。
• 適切な条件下で、カテゴリCのK理論はK₀(C) ≅ K₀(Hw) を満たし、同様に自己準同型のカテゴリに対してもK₀(End C) ≅ K₀(End Hw) が成り立つ。
• DM^{eff}_-において、t-構造に隣接する重み構造wが存在し、その結果、有効チャウカテゴリの双対であるハートを持つ双対的チャウt-構造が得られる。
• DM^{eff}_-におけるチャウt-構造は、未分岐コホモロジーと密接に関係しており、重み構造の枠組みを通じてより深い算術的関係が示唆される。