[論文レビュー] Weighted bootstrap in GARCH models

László Varga, András Zempléni|arXiv (Cornell University)|Sep 6, 2012

Financial Risk and Volatility Modeling参考文献 15被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、ボラティリティモデリングにおける有限標本における推論を改善するため、GARCHモデルに重み付きブートストラップ法を導入する。マルチプライヤー・ブートストラップ重みを準最大尤度推定量（QMLE）に適用することで、最小限の計算コストで漸近的に有効な信頼区間を達成し、標本サイズが1,000程度でも優れた有限標本性能を示す。ただし、100,000観測値に近づくと精度が向上する。

ABSTRACT

GARCH models are useful tools in the investigation of phenomena, where volatility changes are prominent features, like most financial data. The parameter estimation via quasi maximum likelihood (QMLE) and its properties are by now well understood. However, there is a gap between practical applications and the theory, as in reality there are usually not enough observations for the limit results to be valid approximations. We try to fill this gap by this paper, where the properties of a recent bootstrap methodology in the context of GARCH modeling are revealed. The results are promising as it turns out that this remarkably simple method has essentially the same limit distribution, as the original estimatorwith the advantage of easy confidence interval construction, as it is demonstrated in the paper. The finite-sample properties of the suggested estimators are investigated through a simulation study, which ensures that the results are practically applicable for sample sizes as low as a thousand. On the other hand, the results are not 100% accurate until sample size reaches 100 thousands - but it is shown that this property is not a feature of our bootstrap procedure only, as it is shared by the original QMLE, too.

研究の動機と目的

• GARCHモデルにおいて、漸近的理論と実用的応用の間のギャップ、特に小標本では標準的な極限定理近似が不適切になる問題を解決する。
• GARCH過程における準最大尤度推定量（QMLE）の有限標本推論を改善する。
• パラメータ推定および信頼領域構築のための漸近的近似の実用的代替手段として、重み付きブートストラップ法の性能を評価する。
• 重み付きブートストラップが元のQMLE推定量の漸近的分布を保持しつつ、容易な区間推定を可能にすることを示す。

提案手法

• 重み付きブートストラップ（マルチプライヤー・ブートストラップ）アプローチを採用し、ブートストラップ重みτₙᵢがデータと独立で、同一分布に従うように設定し、再サンプルされた対数尤度関数を生成する。
• 元の観測値の代わりに重みτₙᵢXᵢを用いて、同じQMLEフレームワークに基づき重み付き対数尤度関数lₙᵗ*を最大化することで、ブートストラップ推定量を構築する。
• 正則性条件（確立性および誤差項・重みのモーメント条件を含む）の下で、ブートストラップ推定量の漸近的正規性を確立する。
• マルティングール中心極限定理およびベルンシュタインの不等式を用いて、ブートストラップ測度下でのスコア関数および観測フィッシャー情報量がその漸近的極限に収束することを証明する。
• スラツキーの補題およびクレーマー＝ヴォルドの定理を適用し、QMLEのブートストラップ分布が元の推定量と同じ漸近的正規分布に収束することを確認する。
• シミュレーションスタディを通じて、ARCH(1)モデルを対象とし、さまざまな標本サイズにおけるQMLEとブートストラップ推定量の性能を比較する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限標本条件下で、GARCHモデルにおける重み付きブートストラップがQMLEの漸近的分布を保持するか？
• RQ2 標本サイズが小さい（例：n = 1,000）場合でも、重み付きブートストラップがGARCHパラメータの正確な信頼区間を生成できるか？
• RQ3 小標本における被覆確率とサイズの観点から、ブートストラップ推定量の性能は元のQMLEと比べてどうか？
• RQ4 QMLE推定における観察された有限標本バイアスは、ブートストラップ手順によって軽減されるか？
• RQ5 金融データに一般的に見られる重い尾を持つ誤差項に対しても、ブートストラップ法は有効性を保つのか？

主な発見

• 重み付きブートストラップ推定量は、元のQMLEと同一の漸近的分布を達成しており、推論の理論的妥当性を保証する。
• 漸近的近似に依存せず、小標本では信頼性の低い標準的近似に依存しない、簡単な信頼区間の構築が可能である。
• シミュレーション結果から、標本サイズが1,000程度でもブートストラップ法が良好に機能し、名目水準に近い被覆確率を示す。
• ブートストラップ法の有限標本精度は標本サイズの増加とともに向上し、100,000観測値程度に達するまで100％の精度に近づくが、これは元のQMLEに対しても同様の制限であり、ブートストラップ特有の問題ではない。
• 重い尾を持つ誤差項に対しても、ブートストラップ法はロバストであるため、厚尾分布を示す金融時系列に適している。
• マルティングール中心極限定理および一様可積分性による理論的裏付けにより、ブートストラップのスコア関数および情報行列が真の極限に収束することが保証される。