[論文レビュー] Weighted cumulative entropies: An extension of CRE and CE

Yuri Suhov, Salimeh Yasaei Sekeh|arXiv (Cornell University)|Jul 25, 2015

Neural Networks and Applications参考文献 7被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、任意の非負の重み関数を用いて一般化された累積残留および累積エントロピー測度の一般化として、重み付き累積エントロピー（WCRE および WCE）を導入する。主な性質を確立し、重み付き平均不在時間／残留時間による表現を示し、境界と不等式を導出。特にワイブル分布および指数分布の下で WCRE のタイトな上界を提示。統計的推定および情報発散への応用を含む。

ABSTRACT

We generalize the weighted cumulative entropies (WCRE and WCE), introduced in [5], for a system or component lifetime. Representing properties of cumulative entropies, several bounds and inequalities for the WCRE is proposed

研究の動機と目的

• 任意の非負の重み関数を組み込んだ累積残留および累積エントロピー測度の拡張を目的とする。
• 重み付き累積エントロピーの理論的性質を確立し、特に重み付き平均不在時間および残留時間による表現を含む。
• 特にワイブルおよび指数分布を想定した場合の WCRE のタイトな上界を導出すること。
• 生存関数間の不等式および発散測度（例：重み付きカルバック・ライバラー発散）を確立すること。
• 重み付きエントロピーに基づく発散を用いた統計的推定およびモデル比較のフレームワークを構築すること。

提案手法

• 一般の重み関数 φ(x) および生存関数／累積分布関数を用いて、重み付き累積残留エントロピー（WCRE）および重み付き累積エントロピー（WCE）を定義する。
• WCRE および WCE が、重み付き平均不在時間（WMIT）および重み付き平均残留時間（WMRT）関数の期待値として表現可能であることを確立する。
• 生存関数間の重み付きカルバック・ライバラー発散を導入し、φ(x)[F̄(x)−Ḡ(x)] の積分が正である条件の下で非負性を証明する。
• 対数和の不等式を適用し、特に指数分布およびワイブル分布に関連して WCRE の上界を導出する。
• 変換 ψ(x) = ∫₀ˣ φ(t) dt を用いて、WCRE を φ および生存関数を含む期待値と関連付ける。
• 特定のモーメント制約の下で、ワイブル分布に従う参照確率変数を用いた WCRE のタイトな上界を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の非負の重み関数を用いて累積エントロピー測度をどのように一般化できるか？
• RQ2 重み付き累積残留エントロピー（WCRE）および重み付き累積エントロピー（WCE）の主な性質、特に平均不在時間／残留時間の観点からの表現は何か？
• RQ3 生存関数間の重み付きカルバック・ライバラー発散が非負となる条件は何か？
• RQ4 元の分布がワイブルまたは指数分布であると分かっている場合、WCRE の最もタイトな上界は何か？
• RQ5 モーメント制約および対数和の不等式を用いて、WCRE をどのように推定または上界で評価できるか？

主な発見

• WCRE および WCE は、それぞれ重み付き平均不在時間（WMIT）および重み付き平均残留時間（WMRT）の期待値として表現され、確率的解釈が可能となる。
• ∫φ(x)[F̄(x)−Ḡ(x)]dx ≥ 0 である限り、生存関数間の重み付きカルバック・ライバラー発散は非負であり、等号成立は Ḡ/Ḟ = 1 が F̄ に関してほとんど everywhere で成り立つ場合に限る。
• CDF が F である確率変数 X に対して、特定のモーメントおよび重み関数の制約の下で、WCRE はワイブル分布に従う確率変数の WCRE によって上から抑えられる。
• WCRE の上界として λ^q [𝔼[Wib][ψ*q(X)] − ψ*q(0)] が得られ、ここで λ は λ^q = (c_p / (𝔼[ψ(X)] − ψ(0)))^p を満たすように選ばれる。ただし c_p = Γ(1 + 1/p) である。
• ∫xφ(x)[F̄(x) − F̄^Exp(x)]dx ≥ 0 という条件の下で、平均 λ⁻¹ = 𝔼[ψ(X)] − ψ(0) の指数分布を用いることで、よりタイトな上界が得られる。
• 定理 4.5 の境界は、WCRE(X) ≤ 𝔼[ψ(X)] − ψ(0) に λ に関する対数関数を乗じた形で表され、最終的に指数分布を基準とする参照変数を用いた上界が得られる。