[論文レビュー] Weighted Dirac combs with pure point diffraction

Michael Baake, Robert V. Moody|ArXiv.org|Mar 4, 2002

Quasicrystal Structures and Properties参考文献 20被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、局所コンパクトなアーベル群上の重み付きディラックコンブが純粋な点状回折を示す十分条件を確立する。その根拠は、自己相関測度のほとんど周期性と、新たな群論的構成にあり、主な貢献は、モデル集合と非モデル例（例えば可視格子点）を一つの回折理論的原則に統一する一般枠組みを提供することにある。この枠組みにより、自己相関の位相から導かれる内部群を介して、自然にカットアンドプロジェクション形式と結びつけることができる。

ABSTRACT

A class of translation bounded complex measures, which have the form of weighted Dirac combs, on locally compact Abelian groups is investigated. Given such a Dirac comb, we are interested in its diffraction spectrum which emerges as the Fourier transform of the autocorrelation measure. We present a sufficient set of conditions to ensure that the diffraction measure is a pure point measure. Simultaneously, we establish a natural link to the theory of the cut and project formalism and to the theory of almost periodic measures. Our conditions are general enough to cover the known theory of model sets, but also to include examples such as the visible lattice points.

研究の動機と目的

• 局所コンパクトなアーベル群上の重み付きディラックコンブが純粋な点状回折スペクトルをもつ十分条件を特定すること。
• モデル集合と非モデル例（例：可視格子点）の理論を、一つの回折理論的枠組みに統一すること。
• 新しい群論的構成を通じて、純粋な点状回折とカットアンドプロジェクション形式の自然な関係を確立すること。
• 弱い正則性仮定のもとで、回折測度が純粋な点状であるための必要十分条件が、自己相関測度が強くほとんど周期的であることであることを示すこと。
• 自己相関のほとんど周期性から、内部空間と高次元格子構造が物理的現実性に依存せずに内発的に生じることを示すこと。

提案手法

• 局所コンパクトなアーベル群 G 上の移動有界な複素測度 ω の自己相関測度 γω を定義する。
• γω の台に生成される部分群 L ⊂ G を導入し、γω から導かれる新しい位相を L に導入し、これを一様空間とする。
• この自己相関位相に関して L を完備化し、新たな局所コンパクトなアーベル群 H を得る。この H がシステムの内部群となる。
• L を G × H に対角的に埋め込み、˜L として格子とみなすことで、自己相関からカットアンドプロジェクション構造を回復する。
• G の元の位相と L における自己相関位相を組み合わせて G 上に新しい位相を定義し、この位相に関して G を完備化する。
• ウェイルの均分布定理を用いて、境界のハール測度がゼロである正則モデル集合が、純粋な点状回折を満たす条件を満たすことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 局所コンパクトなアーベル群上の重み付きディラックコンブが純粋な点状回折測度をもつのはどのような条件下か？
• RQ2 測度の自己相関構造から、事前に高次元格子を仮定せずに、カットアンドプロジェクション形式を内発的にどのように導出できるか？
• RQ3 純粋な点状回折の理論を、モデル集合に限らず、可視格子点のような非デローネ集合を含むように拡張できるか？
• RQ4 自己相関測度におけるほとんど周期性が、純粋な点状回折を保証するために果たす役割は何か？
• RQ5 平均化列の選択が、自己相関測度および回折測度の存在性と一意性にどのように影響するか？

主な発見

• 回折測度 ˆγω が純粋な点状であるための必要十分条件は、自己相関測度 γω が強くほとんど周期的であることである。
• 境界のハール測度がゼロである正則モデル集合は、すべてその条件を満たし、より単純な方法で既知の結果を再確認できる。
• 相対的に密集しておらず、デローネ集合でない可視格子点に対しても、その条件は満たされ、純粋な点状回折を示す。
• 内部群 H は、自己相関測度の台を、測度そのものから導かれる新しい位相に関して完備化することで構成される。
• カットアンドプロジェクション形式における格子構造は、G × H における L の対角像として自然に生じ、事前に仮定する必要がない。
• ヴァン・ホーヴェ列に対しては、平均化列の選択にかかわらず、自己相関測度および回折測度は一意的であり、列がネストされており境界条件 (36) を満たす限り成り立つ。