[論文レビュー] Weighted frames of exponentials and stable recovery of multidimensional functions from nonuniform Fourier samples

Ben Adcock, Milana Gatarić+1 more|arXiv (Cornell University)|May 13, 2014

Mathematical Analysis and Transform Methods参考文献 43被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、最小間隔を要しない十分な密度を有する非一様フーリエサンプリング点が、重み付きフーリエフレームを用いて多次元かつ compact な関数を安定して回復できることを確立している。球面上にサポートを持つ関数に対して明示的で次元なしのフレーム境界を提供し、NUGSアルゴリズムを用いた安定的かつ準最適な再構成を可能にした。実用的なサンプリングスキーム（径方向およびスパイラルパターン）に対しても検証が行われた。

ABSTRACT

In this paper, we consider the problem of recovering a compactly supported multivariate function from a collection of pointwise samples of its Fourier transform taken nonuniformly. We do this by using the concept of weighted Fourier frames. A seminal result of Beurling shows that sample points give rise to a classical Fourier frame provided they are relatively separated and of sufficient density. However, this result does not allow for arbitrary clustering of sample points, as is often the case in practice. Whilst keeping the density condition sharp and dimension independent, our first result removes the separation condition and shows that density alone suffices. However, this result does not lead to estimates for the frame bounds. A known result of Groechenig provides explicit estimates, but only subject to a density condition that deteriorates linearly with dimension. In our second result we improve these bounds by reducing the dimension dependence. In particular, we provide explicit frame bounds which are dimensionless for functions having compact support contained in a sphere. Next, we demonstrate how our two main results give new insight into a reconstruction algorithm---based on the existing generalized sampling framework---that allows for stable and quasi-optimal reconstruction in any particular basis from a finite collection of samples. Finally, we construct sufficiently dense sampling schemes that are often used in practice---jittered, radial and spiral sampling schemes---and provide several examples illustrating the effectiveness of our approach when tested on these schemes.

研究の動機と目的

• 非一様フーリエサンプリング点間の最小間隔要件を撤廃しつつ、コンpact な多変数関数の安定的回復を維持すること。
• 関数が球面上にサポートを持つ場合の重み付きフーリエフレームに対して、明示的で次元に依存しないフレーム境界を提供すること。
• 非一様サンプルからの安定的かつ準最適な再構成を実現するため、NUGS（非一様一般化サンプリング）フレームワークを多次元設定に拡張すること。
• ジャマールド、径方向、スパイラルなどの実用的サンプリングスキームを、新しい理論的枠組みのもとで分析し、その有効性を数値的に検証すること。
• 非一様サンプルを用いた任意の有限次元関数空間における再構成の安定性と正確性を保証する理論的基盤を確立すること。

提案手法

• 最小間隔を要しない非一様サンプリングに対処するため、重み付きフーリエフレームを導入すること。
• コンパクトで凸かつ対称なサポートに対して、鋭い次元に依存しない閾値を有するベルリングの密度条件を活用：δ_E^∘ < 1/4。
• 次元に依存しない明示的フレーム境界を、球面上にサポートを持つ関数に対して導出。グローチェニヒの境界（線形次元依存）を大幅に改善。
• NUGS（非一様一般化サンプリング）フレームワークを用い、非一様フーリエサンプルから任意の有限次元空間における関数再構成を実施。
• ジャマールド、径方向、スパイラルなどの実用的サンプリングスキームを構築・分析し、必要な密度条件 δ_E^∘ < 1/4 を満たしているかを検証。
• 数値実験を通じて、これらのサンプリングパターンを用いた安定的かつ準最適な再構成が、テスト関数において実現可能であることを示した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非一様フーリエサンプリングにおける最小間隔条件を撤廃しても、多次元関数の安定的回復が保証されるか？
• RQ2 関数サポートが球面である場合の重み付きフーリエフレームに対して、明示的で次元に依存しないフレーム境界は何か？
• RQ3 NUGSアルゴリズムは非一様サンプルからの安定的再構成を実現するため、多次元設定にどのように拡張・正当化できるか？
• RQ4 径方向およびスパイラル軌道などの実用的サンプリングスキームは、理論的密度条件 δ_E^∘ < 1/4 を満たし、安定的再構成を可能にするか？
• RQ5 非一様サンプルにおけるNUGSフレームワークにおいて、サンプリング帯域幅Kと再構成精度の関係は何か？

主な発見

• 密度のみ、δ_E^∘ < 1/4 が満たされていれば、サンプリング点間に間隔がなくても重み付きフーリエフレームが存在することが十分である。
• 球面上にサポートを持つ関数に対して、次元に依存しない明示的フレーム境界が導出され、グローチェニヒの境界（線形次元依存）を著しく改善した。
• サンプリング密度が δ_E^∘ < 1/4 を満たし、かつサンプリング帯域幅Kが十分に大きい場合、NUGSアルゴリズムは安定的かつ準最適な再構成を保証する。
• ジャマールド、径方向、スパイラルの各サンプリングスキームは、すべて (K, δ_E^∘)-密度条件を満たし、δ_E^∘ < 0.25 であるため、安定的回復が可能である。
• 数値実験により、理論的条件を満たしている限り、これらのスキームからの再構成は、低密度でも高い正確性を達成することが確認された。
• 理論的枠組みは、ウェーブレット、多項式、カーブレットなど、任意の有限次元空間における再構成をサポートし、密度条件を満たせば安定的回復が保証される。