[論文レビュー] Weighted Hardy spaces associated with elliptic operators. Part III: Characterizations of $H_L^{p}(w)$ and the weighted Hardy space associated with the Riesz transform

Cruz Prisuelos-Arribas|arXiv (Cornell University)|Feb 15, 2017

Advanced Harmonic Analysis Research参考文献 14被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、2階の発散型楕円型作用素 $L$ に関連する $H^p_L(w)$ の重み付きハーディー空間の分子的特徴付けを、熱半群およびポisson半群から導かれる錐型の正方形関数および非接線的最大関数を用いて、$0 < p < 1$ の場合に確立する。さらに、これらの空間が $p \in W_w(p^-(L), p^+(L))$ の範囲で $L^p(w)$ と同型であることを証明し、リーマン変換 $ abla L^{-1/2}$ と正方形関数 $S_H$ を用いたハーディー空間の等価性を、$p$ および $q$ のある範囲で示す。結果は、重みなし理論の一般化であり、補間および非対角推定を用いて最適な範囲で重み付き結果を拡張する。

ABSTRACT

We consider Muckenhoupt weights $w$, and define weighted Hardy spaces $H^p_{\mathcal{T}}(w)$, where $\mathcal{T}$ denotes a conical square function or a non-tangential maximal function defined via the heat or the Poisson semigroup generated by a second order divergence form elliptic operator $L$. In the range $0

研究の動機と目的

• 2階の発散型楕円型作用素 $L$ に関連する $H^p_L(w)$ の重み付きハーディー空間を、$0 < p < 1$ の場合に分子的特徴付けすること。
• $T$ が熱およびポアソン半群に関連する錐型正方形関数または非接線的最大関数を表すとき、$p \in W_w(p^-(L), p^+(L))$ の範囲で $H^p_T(w)$ と $L^p(w)$ が同型であることを確立すること。
• ある範囲の $p$ および $q$ に対して、リーマン変換 $ abla L^{-1/2}$ を用いたハーディー空間 $H^p_{\nabla L^{-1/2},q}(w)$ と正方形関数 $S_H$ を用いたハーディー空間 $H^p_{S_H,q}(w)$ が等価であることを証明すること。
• 補間、非対角推定、複素補間を用いて重み付きハーディー空間理論を拡張し、$w \equiv 1$ のとき未重み付き結果を完全に回復すること。

提案手法

• 重み付きハーディー空間 $H^p_T(w)$ を、熱半群およびポアソン半群から導かれる錐型正方形関数および非接線的最大関数を用いて、Muckenhoupt 重み $w$ を用いて定義する。
• 複素補間および補間技術を適用して、$L^p(w)$ における有界性結果をハーディー空間へ拡張する。
• $\{e^{-t^2L}\}_{t>0}$ および $\{e^{-tL}\}_{t>0}$ の半群に対する非対角推定を用いて、作用素ノルムおよび減衰挙動を制御する。
• 重み付きルベーグ空間における分子の定義を用いて、$0 < p < 1$ のとき $H^p_L(w)$ の分子分解を構成し、重み付きノルムと整合性を持つようにする。
• テント空間理論および錐型正方形関数の重み付きノルム不等式を用いて、有界性および双対性の結果を導出する。
• リーマン変換 $ abla L^{-1/2}$ および正方形関数 $S_H$ の $L^p(w)$ 有界性に依存し、ノルム推定および補間を用いて $H^p_{\nabla L^{-1/2},q}(w)$ と $H^p_{S_H,q}(w)$ の等価性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 作用素 $L$ が2階の発散型楕円型作用素であるとき、$0 < p < 1$ の場合に、重み付きハーディー空間 $H^p_L(w)$ を分子を用いてどのように特徴付けることができるか？
• RQ2 錐型正方形関数または非接線的最大関数 $T$ を持つ $H^p_T(w)$ が $L^p(w)$ と同型となる $p$ の範囲は何か？
• RQ3 重み付き設定において、リーマン変換 $\nabla L^{-1/2}$ と正方形関数 $S_H$ を用いて定義されるハーディー空間が等価となる条件は何か？
• RQ4 点でのカーネルバウンドを要請しないで、重み付きルベーグ空間への属性および非対角推定のみを用いて、$H^p_L(w)$ の分子的特徴付けを確立できるか？
• RQ5 $w \equiv 1$ のとき、結果がどれほど未重み付き理論（Hofmann, Mayboroda, McIntosh）を回復するか？

主な発見

• $0 < p < 1$ のとき、重み付きハーディー空間 $H^p_L(w)$ は $L^p(w)$ 内の分子を用いた分子的特徴付けを有し、分子ノルムは正方形関数または最大関数ノルムと同値である。
• $p \in W_w(p^-(L), p^+(L))$ の範囲で、空間 $H^p_T(w)$ は $L^p(w)$ と同型であり、重みクラスに一様な同型写像が存在する。
• リーマン変換 $ abla L^{-1/2}$ と正方形関数 $S_H$ が生成するハーディー空間は等価である：$p \in W_w(q^-(L), q^+(L))$ および $q \in W_w(q^-(L), q^+(L))$ の範囲で $H^p_{\nabla L^{-1/2},q}(w) = H^p_{S_H,q}(w)$ が成り立つ。
• 分子分解は重み付きノルム不等式に対して安定であり、分子は自然に $L^p(w)$ に属するため、補間および補間技術が可能である。
• 重み $w \equiv 1$ とすると、[26] および [27] の未重み付き理論を完全に回復でき、補間を用いた有界性範囲は最適である。
• 証明は、非対角減衰、テント空間ノルム、および $ abla L^{-1/2}$ の重み付き $L^p$ 有界性に依存し、定数は $n$、$p$、および $w$ の $A_p$ 特性にのみ依存する。