[論文レビュー] Weighted Hardy spaces on the unit disk

Evgeny A. Poletsky|arXiv (Cornell University)|Sep 4, 2014

Holomorphic and Operator Theory参考文献 13被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、排出関数を用いて定義される単位円板上の重み付きハーディー空間 $H^p_u(\mathbb{D})$ に対して、$p > 0$ のとき、$f_t(z) = f(tz)$ で定義される拡大写像が $H^p_u$-ノルムにおいて $f$ に収束することを確立している。これにより、多項式が $H^p_u(\mathbb{D})$ で稠密であることが示される。さらに、全純関数の $h^p_u$-ノルムが境界値の $L^p_u$-ノルムに等しくなること、および測度 $\mu_{u,r}$ が、これまでに知られていたよりも強い意味で $\mu_u$ に弱-*収束することも示している。

ABSTRACT

In this paper we mainly discuss three things. First, there is no canonical norm on the space $H^p_u(\mathbb{D})$. Second, we improve the weak-$*$ convergence of the measures $μ_{u,r}$. Third, the dilations $f_t$ of the function $f\in H^p_u(\mathbb{D})$ converge to $f$ in $H^p_u$-norm and hence the polynomials are dense in $H^p_u(\mathbb{D})$.

研究の動機と目的

• 重み付きハーディー空間 $H^p_u(\mathbb{D})$ における $p > 0$ のとき、拡大写像 $f_t(z) = f(tz)$ の収束を調査すること。
• 拡大写像の収束を用いて、$H^p_u(\mathbb{D})$ における多項式の稠密性を確立すること。
• 境界 $\mathbb{T}$ 上で測度 $\mu_{u,r}$ から $\mu_u$ への弱-*収束を、Demailly の結果を上回る形で強化すること。
• $h^p_u$-ノルムと境界値の $L^p_u$-ノルムの関係を明確にすること。
• 排出関数の非一意性のため、$H^p_u(\mathbb{D})$ に標準的なノルムが存在しないことの証明。

提案手法

• 論文は、Lelong–Jensenの公式を用いて、$H^p_u$-ノルムを $|f|^p$ と $\Delta u$ を含む積分として表現する。
• 単調収束定理と劣調和関数の性質を用いて、ノルム定義における $\varlimsup$ を $\lim$ に置き換える。
• レベル集合 $S_{u,r}$ 上での積分の極限を分析することにより、$C^*(\overline{\mathbb{D}})$ 内で $\mu_{u,r}$ が $\mu_u$ に弱-*収束することを証明する。
• Egorovの定理と境界値の $L^p$-収束を用いて、$\|f_t - f\|_{H^p_u} \to 0$ を示すことで、拡大写像 $f_t$ のノルム収束を確立する。
• Poisson積分表現と $|f|^p$ の劣調和性を用いて、$\|f_t\|_{H^p_u}$ と $\|f^*\|_{L^p_u}$ を比較する。
• レベル集合 $S_{u,r}$ 上での積分の極限と境界 $L^p$-ノルムが等しいことを示すことにより、$\|f\|_{H^p_u}^p = \|f^*\|_{L^p_u}^p$ を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $f \in H^p_u(\mathbb{D})$ のとき、拡大写像 $f_t(z) = f(tz)$ は $H^p_u$-ノルムにおいて $f$ に収束するか？
• RQ2 $p > 0$ のとき、$H^p_u(\mathbb{D})$ において多項式は稠密か？
• RQ3 $\mu_{u,r}$ から $\mu_u$ への弱-*収束は、Demailly の結果を上回る形で強化可能か？
• RQ4 一意な排出関数によって誘導される $H^p_u(\mathbb{D})$ に標準的なノルムが存在するか？
• RQ5 $h^p_u$-ノルムと境界関数の $L^p_u$-ノルムの関係は何か？

主な発見

• すべての $f \in H^p_u(\mathbb{D})$ および $p > 0$ に対して、拡大写像 $f_t(z) = f(tz)$ は $H^p_u$-ノルムにおいて $f$ に収束する。
• 拡大写像の収束の結果として、$p > 0$ のとき $H^p_u(\mathbb{D})$ において多項式は稠密である。
• 測度 $\mu_{u,r}$ は $C^*(\overline{\mathbb{D}})$ 内で $\mu_u$ に弱-*収束し、これはこれまでに知られていたよりも強い収束である。
• $f \in H^p_u(\mathbb{D})$ のとき、$H^p_u$-ノルムはその径方向境界関数 $f^*$ の $L^p_u$-ノルムに等しい。
• 全純関数の $h^p_u$-ノルムは、その境界値関数の $L^p_u$-ノルムに等しい。
• 排出関数の非一意性のため、$H^p_u(\mathbb{D})$ には標準的なノルムが存在しない。$\mathcal{E}_0$ 内の異なる排出関数は同じ空間を生成するが、それに対応する単位球は異なり、その共通部分は $H^\infty(\mathbb{D})$ の単位球に一致する。