[論文レビュー] Weighted Local Orlicz-Hardy Spaces with Applications to Pseudo-differential Operators

Dachun Yang, Sibei Yang|arXiv (Cornell University)|Jul 17, 2011

Advanced Harmonic Analysis Research参考文献 39被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、局所グランド最大関数を用いて重み付き局所オーリッチ・ハーディー空間 $h^\Phi_\omega(\mathbb{R}^n)$ を導入し、そのアトム的、垂直的、非接続的最大関数による特徴づけを確立する。また、$h^\Phi_\omega(\mathbb{R}^n)$ と BMO 型空間 $bmo^{\rho,\omega}(\mathbb{R}^n)$ の双対性を証明し、この枠組みを用いて局所リーマン変換、局所分数階積分、および擬微分作用素の有界性を示す。これは、一般のオーリッチ関数および局所 Muckenhoupt 重みへ既知の結果の拡張を実現する。

ABSTRACT

Let $Φ$ be a concave function on $(0,\infty)$ of strictly lower type $p_Φ\in(0,1]$ and $ω\in A^{\mathop\mathrm{loc}}_{\infty}(\mathbb{R}^n)$. We introduce the weighted local Orlicz-Hardy space $h^Φ_ω(\mathbb{R}^n)$ via the local grand maximal function. Let $ρ(t)\equiv t^{-1}/Φ^{-1}(t^{-1})$ for all $t\in(0,\infty)$. We also introduce the $\mathop\mathrm{BMO}$-type space $\mathop\mathrm{bmo}_{ρ,\,ω}(\mathbb{R}^n)$ and establish the duality between $h^Φ_ω(\mathbb{R}^n)$ and $\mathop\mathrm{bmo}_{ρ,\,ω}(\mathbb{R}^n)$. Several real-varaiable characterizations of $h^Φ_ω(\mathbb{R}^n)$ are presented. Using the atomic characterization, we prove the existence of finite atomic decompositions achieving the norm in some dense subspaces of $h^Φ_ω(\mathbb{R}^n)$. As applications, we show that the local Riesz transforms are bounded on $h^Φ_ω(\mathbb{R}^n)$, the local fractional integrals are bounded from { ormalsize$h^p_{ω^p}(\mathbb{R}^n)$} to { ormalsize$L^q_{ω^q}(\mathbb{R}^n)$} when $q>1$ and from { ormalsize$h^p_{ω^p}(\mathbb{R}^n)$} to { ormalsize$h^q_{ω^q}(\mathbb{R}^n)$} when $q\le 1$, and some pseudo-differential operators are also bounded on both $h^Φ_ω(\mathbb{R}^n)$. All results for any general $Φ$ even when $ω\equiv 1$ are new.

研究の動機と目的

• 重み付き局所ハーディー空間の理論を、下位型 $p_\Phi \in (0,1]$ の一般の凹関数 $\Phi$ を持つオーリッチ関数空間へ拡張すること。
• 局所グランド最大関数を用いて、重み付き局所オーリッチ・ハーディー空間 $h^\Phi_\omega(\mathbb{R}^n)$ を定義し、アトム的および最大関数的特徴づけを含む。
• BMO 型空間 $bmo^{\rho,\omega}(\mathbb{R}^n)$ を導入し、$h^\Phi_\omega(\mathbb{R}^n)$ との双対性を確立すること。
• 局所有限アトム分解理論を $h^\Phi_\omega(\mathbb{R}^n)$ の稠密部分空間において構築し、線形でない作用素の有界性基準を提供すること。
• この理論を応用して、局所リーマン変換、局所分数階積分、および擬微分作用素が $h^\Phi_\omega(\mathbb{R}^n)$ 上で有界であることを証明すること。

提案手法

• 下位型 $p_\Phi \in (0,1]$ の凹関数 $\Phi$ と局所重み $\omega \in A^{\mathrm{loc}}_\infty(\mathbb{R}^n)$ に関連する局所グランド最大関数を用いて、重み付き局所オーリッチ・ハーディー空間 $h^\Phi_\omega(\mathbb{R}^n)$ を定義する。
• アトムおよび最大関数をパrameter化するため、関数 $\rho(t) \equiv t^{-1}/\Phi^{-1}(t^{-1})$ を導入する。
• Calderón-Zygmund 分解技術を用いて、$h^\Phi_\omega(\mathbb{R}^n)$ のアトム的、垂直的、非接続的最大関数的特徴づけを確立する。
• アトム分解定理を用いて、$h^\Phi_\omega(\mathbb{R}^n)$ の稠密部分空間における有限アトム分解を構成する。
• 双対ペアリングとノルム推定を用いて、$h^\Phi_\omega(\mathbb{R}^n)$ と BMO 型空間 $bmo^{\rho,\omega}(\mathbb{R}^n)$ の双対性を証明する。
• アトム分解と双対性を応用し、作用素の有界性を示すために、アトムおよび単一アトム上で一様有界性が成り立つことを確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 重み付き局所ハーディー空間の理論を、下位型 $p_\Phi \in (0,1]$ の任意の凹関数 $\Phi$ を持つオーリッチ関数空間へどのように一般化できるか？
• RQ2 $h^\Phi_\omega(\mathbb{R}^n)$ に対応する適切な BMO 型空間は何か、そしてこの設定で双対性をどのように確立できるか？
• RQ3 局所有限アトム分解は $h^\Phi_\omega(\mathbb{R}^n)$ の稠密部分空間において構成可能であり、線形でない作用素の有界性基準を可能にするか？
• RQ4 一般の $\Phi$ および $\omega \in A^{\mathrm{loc}}_\infty(\mathbb{R}^n)$ に対して、局所リーマン変換は $h^\Phi_\omega(\mathbb{R}^n)$ 上で有界か？
• RQ5 クラス $S^0_{1,0}(\mathbb{R}^n)$ の擬微分作用素は $h^\Phi_\omega(\mathbb{R}^n)$ を自分自身に有界に写像するか？ その条件は何か？

主な発見

• 空間 $h^\Phi_\omega(\mathbb{R}^n)$ は、$(\rho, q, s)_\omega$-アトムを用いたアトム分解を有し、$\rho(t) = t^{-1}/\Phi^{-1}(t^{-1})$ である。また、アトムノルムは局所グランド最大関数ノルムと同値である。
• $h^\Phi_\omega(\mathbb{R}^n)$ の双対空間は $bmo^{\rho,\omega}(\mathbb{R}^n)$ に同定され、双対ペアリングを用いた精密なノルム推定により双対性が確立された。
• $h^\Phi_\omega(\mathbb{R}^n)$ の稠密部分空間において有限アトム分解が存在し、$B_\beta$-線形でない作用素がアトム上で有界である場合、その作用素は全空間上で有界に拡張可能である。
• 局所リーマン変換は $h^\Phi_\omega(\mathbb{R}^n)$ 上で有界であり、古典的結果がオーリッチ・ハーディー設定へ拡張された。
• 適切な $\omega$ および $\Phi$ の条件下で、局所分数階積分は $h^{p}_{\omega^p}(\mathbb{R}^n)$ から $L^{q}_{\omega^q}(\mathbb{R}^n)$ ($q > 1$) および $h^{q}_{\omega^q}(\mathbb{R}^n)$ ($q \leq 1$) へ有界である。
• クラス $S^0_{1,0}(\mathbb{R}^n)$ の擬微分作用素は $h^\Phi_\omega(\mathbb{R}^n)$ 上で有界であり、作用素ノルムは $\|f\|_{bmo^{\rho,\omega}}$ によって制御され、Corollary 8.20 で示された。