[論文レビュー] Weighted mixed-norm $L_p$ estimates for equations in non-divergence form with singular coefficients: the Dirichlet problem

Hongjie Dong, Tuoc Phan|arXiv (Cornell University)|Mar 14, 2021

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 23被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、上半空間における特異係数を有する非発散型楕円型・放物型方程式に対して、ディリクレ境界条件のもとで重み付き混合ノルム $L_p$ 評価を確立する。重み $x_d^\gamma$ が $A_p$-Muckenhoupt 現代クラスに属さない場合でさえも、強解の存在および一意性を、$D_d^2u$ だけではなく、組み合わせ項 $D_d^2u + \alpha x_d^{-1}D_d u$ を制御することによって示している。

ABSTRACT

We study a class of non-divergence form elliptic and parabolic equations with singular first-order coefficients in an upper half space with the homogeneous Dirichlet boundary condition. In the simplest setting, the operators in the equations under consideration appear in the study of fractional heat and fractional Laplace equations. Intrinsic weighted Sobolev spaces are found in which the existence and uniqueness of strong solutions are proved under certain smallness conditions on the weighted mean oscillations of the coefficients in small parabolic cylinders. Our results are new even when the coefficients are constants and they cover the case where the weights may not be in the $A_p$-Muckenhoupt class.

研究の動機と目的

• 非発散型楕円型・放物型方程式に対して、上半空間における特異係数を有する重み付き混合ノルム $L_p$ 評価を確立すること。
• 重み $x_d^\gamma$ が $A_p$-Muckenhoupt クラスに属さない場合でさえも、ディリクレ境界条件のもとで強解の存在および一意性を証明すること。
• 主に $D_d^2u$ ではなく $D_d^2u + \alpha x_d^{-1}D_d u$ を制御する内在的重み付きソボレフ空間における理論を構築すること。
• 分数ラプラシアンや熱方程式に由来するような特異係数を有する方程式へ、古典的 Calderón-Zygmund 評価を拡張すること。
• 放物型シリンダ内での係数の小さな重み付き平均振動を仮定することで、最小限の正則性仮定のもとで可解性を保証すること。

提案手法

• 境界付近の特異性を制御するため、重み $x_d^\gamma$（$\gamma \in (\alpha p - 1, 2p - 1)$）を用いた内在的重み付きソボレフ空間の使用。
• 特異係数を有する非発散型方程式の文脈において、Calderón-Zygmund 型の議論を適応すること。
• 局所化とシリンダ内での解の推定に役立てるために、重み付き最大関数とカットオフ関数 $\eta_k$ を用いた dyadic 分解の導入。
• 重み付き $L_{q,p}$-ノルムと修正された作用素 $\mathfrak{M} = x_d^{-1}$ を用いる関数解析的アプローチによる特異項の取り扱い。
• 元の方程式を $b x_d^{-2} v$ のような零次項を有する形に変換可能にする変数変換 $u = x_d^\beta v$ の適用、特に既知の推定式を適用可能にするため。
• dyadic 層 $k$ における和を用いたブートストラップ的議論により、パrameter $\lambda_k$ の適切な選択によって高階項を吸収し、summable な減衰を達成すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 重みが $A_p$-Muckenhoupt クラスに属さない場合に、上半空間における非発散型方程式に対して重み付き混合ノルム $L_p$ 評価を確立できるか？
• RQ2 重み付き $x_d^{-1}$ 係数が存在する状況で、$D_d^2u$ が可積分でない場合に、$D_d^2u$ をどのように制御できるか？
• RQ3 係数に（例えば）小さな重み付き平均振動性があると仮定した場合、重み付きソボレフ空間における強解の存在および一意性を保証する条件は何か？
• RQ4 古典的 Calderón-Zygmund 理論を、$\alpha x_d^{-1} D_d u$ のような特異係数を有する方程式へどの程度まで拡張できるか？
• RQ5 零次項 $b x_d^{-2} u$ を含む場合、この方法は拡張可能か？その場合、$b$ と $\alpha$ にどのような条件が必要か？

主な発見

• 本稿では、$\alpha \in (-\infty, 1)$、$p \in (1,\infty)$、$\gamma \in (\alpha p - 1, 2p - 1)$ のもとで、$\Delta u + \alpha x_d^{-1} D_d u - \lambda u = f$ のディリクレ問題が、重み $x_d^\gamma$ を用いた重み付き $L_p$ 評価を満たす一意な強解を有することを証明している。
• 鍵となる評価は、$|D_d^2 u|^p$ ではなく $|D_d^2 u + \alpha x_d^{-1} D_d u|^p$ を制御することであり、係数の特異性のため不可欠である。
• 係数が定数であっても、重み $x_d^\gamma$ が $A_p$-Muckenhoupt クラスに属する必要がない場合でも、結果は新規である。
• 係数の放物型シリンダ内での重み付き平均振動の小さな条件のもとで、解の存在および一意性が確立されている。
• 変換 $u = x_d^β v$ を用いることで、零次項 $b x_d^{-2} u$ を含む方程式に対しても、$\beta$ を適切に選ぶことで、定理2.3の適用が可能となり、この方法は拡張可能である。
• 証明は、$k$ における dyadic 分解と和の議論に依拠しており、パrameter $\lambda_k = \lambda_0 \rho_0^{-2} + (5N 2^k)^2$ を用いることで高階項の減衰が保証され、有限和となり、主要項が吸収される。