[論文レビュー] Weighted Orthogonal Polynomials-Based Generalization of Wirtinger-Type Integral Inequalities for Delayed Continuous-Time Systems

Xian Zhang, Yuanyuan Han+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 16, 2015

Stability and Control of Uncertain Systems参考文献 13被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、遅延連続時間系の安定性解析のための、既存のWirtinger型およびJensenの不等式を一般化・改善する、重み付き直交多項式に基づく積分不等式の新規クラスを導入する。重み付き内積に関して定義された直交多項式を活用することで、ラプラス＝クリスタフスキー汎関数の導関数における積分項の下界をより厳密に評価でき、保守的でない安定性基準が得られる。特殊ケースとして、先行研究の結果が回復されたり、改良されたりする。

ABSTRACT

In the past three years, many researchers have proven and/or employed some Wirtinger-type integral inequalities to establish less conservative stability criteria for delayed continu\-ous-time systems. In this present paper, we will investigate weighted orthogonal polynomials-based integral inequalities which is a generalization of the existing Jensen's inequalities and Wirtinger-type integral inequalities.

研究の動機と目的

• 遅延付き連続時間系におけるラプラス＝クリスタフスキー汎関数の導関数を評価するためのよりタイトな積分不等式の構築を目的とする。
• Jensenの不等式やWirtinger型不等式を用いて導かれる既存の安定性基準に内在する保守的性質を低減することを目的とする。
• Jensenの不等式およびWirtinger型不等式を含む既存の積分不等式を、より広範な枠組みの特殊ケースとして統一・一般化することを目的とする。
• 重み付き直交多項式に基づく体系的な手法を提供し、遅延状態およびその微分を含む積分項のより良い下界を導出することを目的とする。

提案手法

• 区間 $[a,b]$ において重み関数 $(s-a)^m$ を用いた重み付き直交多項式（WOPs）を用いて、一般積分不等式を導出する。
• 内積 $(p,q)_m = \int_a^b (s-a)^m p(s)q(s) \, ds$ に関して、次数 $\leq \mathcal{N}$ の多項式空間における直交基底 $\{p_{km}(s)\}$ を構築する。
• 直交性の性質を用いて、積分 $\mathcal{I}_m(w_t) = \int_a^b \cdots \int_{\theta_m}^b w_t^T(s) R w_t(s) \, ds \cdots d\theta_1$ の下界を導出する。
• 不等式 $\mathcal{I}_m(w_t) \geq \frac{(m+1)!}{(b-a)^{m+1}} \left( \Theta_m^T R \Theta_m + \text{高次項} \right)$ を確立する。ここで $\Theta_m$ は $w_t(b)$ の重み付き平均および $w_t(s)$ の積分を含む。
• ${\mathcal{N}} = 0$ または ${\mathcal{N}} = 1$ の場合、不等式が既知の結果（例：Jensenの不等式、Wirtinger型不等式）に還元されることを示し、${\mathcal{N}} \geq 2$ の場合にそれらを改善することを示す。
• フレームワークを用いて ${\mathcal{N}} = 0,1$ の場合の具体的な推論を導出し、[11, 12, 14, 15, 16, 23, 29, 30] における結果と比較することで、よりタイトな境界が得られることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 重み付き直交多項式を用いて、既存のWirtinger型およびJensenの不等式を包含・改善する一般クラスの積分不等式を構築可能か？
• RQ2 多項式の次数 $\mathcal{N}$ の選択が、$\mathcal{I}_m(w_t)$ の下界のタイトさにどのように影響するか？
• RQ3 新しい不等式は、既存の手法と比較して、遅延付き連続時間系の安定性基準における保守的性質をどの程度低減するか？
• RQ4 提案された不等式は、[14, 15, 16, 29, 30] に示された既知の結果と同等か、それらよりも厳密に保守的でないか？

主な発見

• 提案されたWOPsに基づく不等式は、${\mathcal{N}} = 0$ の場合にJensenの不等式、${\mathcal{N}} = 1$ の場合にWirtinger型不等式が特殊ケースとして含まれる。
• ${\mathcal{N}} = 1$ の場合、[8, Lemma 5および6] よりもタイトな下界が得られ、係数 $\frac{m!(m+1)^2(m+3)}{(b-a)^{m+1}}$ が [8] の $\frac{m!(m+3)}{(b-a)^{m+1}}$ よりも大きい。
• ${\mathcal{N}} = 1$ かつ $m=1$ の場合、不等式は [15, (25)] と一致し、[11, Lemma 2.4] や [12, (13)] よりも保守的でないことが示された。
• ${\mathcal{N}} = 1$ かつ $m=1$ の場合に導かれた不等式は、[29, Lemma 4] および [30, Lemma 1] と同等であるが、自由重み行列を必要としない。
• 補題13における $\mathcal{I}_1(\dot{w}_t)$ の境界は、[14, Corollary 1] よりもタイトであり、2番目の項の係数がより大きい。
• $(s-a)^k$ を $(b-s)^k$ に置き換えることで、フレームワークを拡張可能であり、これにより [18, Corollary 4]、[23, (3.1)および(3.8)]、[15, (18)および(26)] を一般化する新たな不等式が得られる。