[論文レビュー] Weighted Poincar\'e inequalities, concentration inequalities and tail bounds related to the behavior of the Stein kernel in dimension one

Adrien Saumard|arXiv (Cornell University)|Apr 11, 2018

Random Matrices and Applications参考文献 35被引用数 7

ひとこと要約

本稿は1次元におけるスティン密度アプローチと関数不等式の間の関係を確立し、スティンカーネルを重み関数として用いることで重み付きPoincaré不等式およびBrascamp-Lieb不等式を証明する。また、一般化されたミルズの不等式やリプシッツ連続関数に対するサブガンマ型集中不等式を含む、新たな集中および尾部バウンドを導出する。主な貢献は、集中不等式の導出を可能にするため、確率変数のラプラス変換をバウンドする一般化された補題の確立である。

ABSTRACT

We investigate the links between the so-called Stein's density approach in dimension one and some functional and concentration inequalities. We show that measures having a finite first moment and a density with connected support satisfy a weighted Poincar\'e inequality with the weight being the Stein kernel. Furthermore we prove asymmetric Brascamp-Lieb type inequalities related to the Stein kernel. We also show that existence of a uniformly bounded Stein kernel is sufficient to ensure a positive Cheeger isoperimetric constant. Then we derive new concentration inequalities. In particular, we prove generalized Mills' type inequalities when the Stein kernel is uniformly bounded and sub-gamma concentration for Lipschitz functions of a variable with sub-linear Stein kernel. When some exponential moments are finite, a general concentration inequality is then expressed in terms of Legendre-Fenchel transform of the Laplace transform of the Stein kernel. Along the way, we prove a general lemma for bounding the Laplace transform of a random variable, that should be very useful in many other contexts when deriving concentration inequalities. Finally, we provide density and tail formulas as well as tail bounds, generalizing previous results that where obtained in the context of Malliavin calculus.

研究の動機と目的

• 1次元確率分布におけるスティンカーネルと関数不等式の関係を明らかにすること。
• スティンカーネルを重み関数として用いることで、重み付きPoincaréおよびBrascamp-Lieb型不等式を確立すること。
• スティンカーネルが部分線形または一様有界である確率変数に対して、新たな集中および尾部バウンドを導出すること。
• 集中不等式の導出を容易にするため、確率変数のラプラス変換をバウンドする一般化された補題を構築すること。
• マリヤン・カスケールの枠組みを超えて、密度および尾部公式の既存の結果を一般化すること。

提案手法

• 一階モーメントが有限で連結な台を持つ測度に対して、スティンカーネルを重み関数として用いることで、重み付きPoincaré不等式を導出する。
• 1次元におけるスティンカーネルの構造に基づいて、非対称なBrascamp-Lieb不等式を証明する。
• スティンカーネルが一様有界であるという条件下で、正のチーリング等周境界定数を確立する。
• 確率変数のラプラス変換をバウンドする一般補題を適用し、集中不等式を導出する。
• 指数モーメントが有限である場合、集中不等式をスティンカーネルのラプラス変換のLegendre-Fenchel変換の形で表現する。
• 明示的な密度および尾部公式を導出し、先行研究のマリヤン・カスケールの枠組みを越えて、より広範な分布のクラスに一般化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スティンカーネルは1次元分布における重み付きPoincaré不等式とどのように関係するか？
• RQ2 スティンカーネルを構造的要素として用いることで、非対称なBrascamp-Lieb不等式を導出できるか？
• RQ3 スティンカーネルにどのような条件下で正のチーリング等周境界定数が得られるか？
• RQ4 スティンカーネルが一様有界または部分線形である場合、どのような集中不等式が得られるか？
• RQ5 確率変数のラプラス変換をどのようにバウンドすれば、一般化された集中不等式を得られるか？

主な発見

• 一階モーメントが有限で連結な台を持つ測度は、スティンカーネルを重み関数として用いることで重み付きPoincaré不等式を満たす。
• 非対称なBrascamp-Lieb型不等式が確立され、スティンカーネルが1次元における関数不等式と結びつけられる。
• スティンカーネルが一様有界であれば、正のチーリング等周境界定数が保証され、強力な集中性が示される。
• スティンカーネルが一様有界である場合、一般化されたミルズ型不等式が導出される。
• スティンカーネルが部分線形である確率変数のリプシッツ連続関数に対して、サブガンマ型集中が確立される。
• 指数モーメントが有限である場合、集中不等式はスティンカーネルのラプラス変換のLegendre-Fenchel変換を用いて一般化された形で表現される。