[論文レビュー] Weighted shifts on directed trees

Zenon Jan Jabłoński, Il Bong Jung+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 19, 2009

Holomorphic and Operator Theory参考文献 41被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、古典的加重シフトおよび加重隣接作用素の一般化として、無限有向木上の加重シフトを導入し、その性質を調査する。ハイポノルマル性、コハイポノルマル性、サブノルマル性、完全ハイペルアンプルシビティの完全な特徴づけを重みの条件に基づいて与え、主な結果として、特定の木 ${\mathscr{T}}_{\eta,\kappa}$ におけるサブノルマル性が、古典的単一側加重シフトの $k$-ステップ後方拡張可能性と同値であることを示している。

ABSTRACT

A new class of (not necessarily bounded) operators related to (mainly infinite) directed trees is introduced and investigated. Operators in question are to be considered as a generalization of classical weighted shifts, on the one hand, and of weighted adjacency operators, on the other; they are called weighted shifts on directed trees. The basic properties of such operators, including closedness, adjoints, polar decomposition and moduli are studied. Circularity and the Fredholmness of weighted shifts on directed trees are discussed. The relationships between domains of a weighted shift on a directed tree and its adjoint are described. Hyponormality, cohyponormality, subnormality and complete hyperexpansivity of such operators are entirely characterized in terms of their weights. Related questions that arose during the study of the topic are solved as well. Particular trees with one branching vertex are intensively studied mostly in the context of subnormality and complete hyperexpansivity of weighted shifts on them. A strict connection of the latter with $k$-step backward extendibility of subnormal as well as completely hyperexpansive unilateral classical weighted shifts is established. Models of subnormal and completely hyperexpansive weighted shifts on these particular trees are constructed. Various illustrative examples of weighted shifts on directed trees with the prescribed properties are furnished. Many of them are simpler than those previously found on occasion of investigating analogical properties of other classes of operators.

研究の動機と目的

• 有向木上の加重シフトを、古典的加重シフトおよび加重隣接作用素の一般化として導入し、体系的かつ系統的に研究すること。
• 本新フレームワーク内での基本的な作用素理論的性質（閉包性、随伴作用素、極分解、モジュラスなど）を特徴づけること。
• 加重シフトとその随伴作用素の定義域の関係、特にさまざまな包含条件下での関係を調査すること。
• 木上の重みを用いたハイポノルマル性、コハイポノルマル性、サブノルマル性、完全ハイペルアンプルシビティの完全な特徴づけを提供すること。
• 特に ${\mathscr{T}}_{\eta,\kappa}$ におけるサブノルマル作用素および完全ハイペルアンプルシブ作用素のモデルを構成し、それらを古典的単一側加重シフトの $k$-ステップ後方拡張可能性と関連付けること。

提案手法

• 辺集合上の重み関数 $\lambda_v$ を用いて、有向木上の加重シフトを定義し、古典的加重シフトおよび加重隣接作用素を一般化する。
• 特に1つの分岐頂点を持つ無限有向木（${\mathscr{T}}_{\eta,\kappa}$）を用いたグラフ論的構造を活用し、作用素の性質をモデル化・分析する。
• スペクトル理論および関数解析的計算を用いて、円形性、フレドホルム性、および定義域の包含関係 $\mathscr{D}(S_{\boldsymbol{\lambda}}) \subseteq \mathscr{D}(S_{\boldsymbol{\lambda}}^*)$ を研究する。
• $p$-ハイポノルマル性の条件として、重みに関する不等式を用いる：$|\lambda_{i,j}| \leq |\lambda_{i,j+1}|$、$\left(\sum |\lambda_{i,1}|^2\right)^{p-1} \left(\sum \frac{|\lambda_{i,1}|^2}{|\lambda_{i,2}|^{2p}}\right) \leq 1$、および $\lambda_0$ の境界条件。
• ${\mathscr{T}}_{\eta,\kappa}$ におけるサブノルマル性と、古典的単一側加重シフトの $k$-ステップ後方拡張可能性との間の明確な関係を確立する。
• 測度論的およびモーメントに基づく条件（例：$\mu_1 = \delta_{1/a^2}$、$\mu_2 = \delta_{1/b^2}$）を用いて、重みパラメータに基づくサブノルマル性を特徴づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有向木上の加重シフトが、その重みの観点からいつハイポノルマル、コハイポノルマル、サブノルマル、または完全ハイペルアンプルシブとなるか。
• RQ2 $\mathscr{D}(S_{\boldsymbol{\lambda}}) \subseteq \mathscr{D}(S_{\boldsymbol{\lambda}}^*)$ またはその逆の包含関係が成り立つための必要十分条件は何か。
• RQ3 ${\mathscr{T}}_{\eta,\kappa}$ におけるサブノルマル性は、古典的単一側加重シフトの $k$-ステップ後方拡張可能性とどのように関係しているか。
• RQ4 有向木 ${\mathscr{T}}_{2,1}$ 上の加重シフトについて、$p$-ハイポノルマル性とパrameter空間 $\varDelta_p$ の正確な関係は何か。
• RQ5 特定の有向木上にサブノルマルおよび完全ハイペルアンプルシブ加重シフトのモデルを構成できるか。その場合の重みの条件は何か。

主な発見

• 有向木 ${\mathscr{T}}_{\eta,\kappa}$ 上の加重シフト $S_{\boldsymbol{\lambda}}$ は、すべての $i,j$ に対して $|\lambda_{i,j}| \leq |\lambda_{i,j+1}|$、$\left(\sum |\lambda_{i,1}|^2\right)^{p-1} \left(\sum \frac{|\lambda_{i,1}|^2}{|\lambda_{i,2}|^{2p}}\right) \leq 1$、および $\kappa \geq 1$ のとき $|\lambda_0|^2 \leq \sum |\lambda_{i,1}|^2$ を満たす場合に限り、$p$-ハイポノルマルである。
• ${\mathscr{T}}_{2,1}$ に対して、$S_{\boldsymbol{\lambda}}$ は $\lambda_0 \leq 1$ かつ $(a,b) \in \varDelta_p = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 : x,y > 0, x^{2p} + y^{2p} \leq 2\}$ である場合に限り、$p$-ハイポノルマルである。
• $\varDelta_\infty = \bigcap_{p>0} \varDelta_p$ は $\{(x,y) : 0 < x \leq 1, 0 < y \leq 1\}$ に等しく、したがって $S_{\boldsymbol{\lambda}}$ は $\infty$-ハイポノルマルである（かつ唯一）$\lambda_0, a, b \leq 1$ のときである。
• ${\mathscr{T}}_{2,1}$ 上の $S_{\boldsymbol{\lambda}}$ がサブノルマルであるための必要十分条件は、$a^2 + b^2 = 2$ かつ $\frac{a^4 + b^4}{2} \leq \frac{1}{\lambda_0^2}$ である。
• $a^2 + b^2 = 2$ かつ $(a,b) \neq (1,1)$ ならば、$S_{\boldsymbol{\lambda}}$ はサブノルマルだが $\infty$-ハイポノルマルでない。一方、$(a,b) \in \varDelta_\infty \setminus \{(1,1)\}$ ならば、$\infty$-ハイポノルマルだがサブノルマルでない。
• $S_{\boldsymbol{\lambda}}$ が等長作用素であるための必要十分条件は $\lambda_0 = a = b = 1$ であり、このときサブノルマル性および $\infty$-ハイポノルマル性も同時に成り立つ。