[論文レビュー] Weighted sums of some second-order sequences

Kunle Adegoke|arXiv (Cornell University)|Mar 24, 2018

Advanced Mathematical Theories and Applications参考文献 3被引用数 13

ひとこと要約

本稿は、$w_0 = a$、$w_1 = b$、$w_n = p w_{n-1} - q w_{n-2}$ で定義される第二階線形再帰列 $\{w_n\}$ について、$a, b, p, q \in \mathbb{C}$、$p,q \neq 0$ の場合に、重み付き和に関する新しい恒等式を導出する。一般化された二項和フレームワークと再帰に基づく母関数技法を用い、二項係数、特徴的列の累乗、重み付き和を含む恒等式を確立し、フィボナッチ数、ペル数、ヤコブスティャール数に対する既知の結果を一般化する。

ABSTRACT

We derive weighted summation identities involving the second order recurrence sequence $\{w_n\} =\{ w_n(a,b; p, q)\}$ defined by $w_0 = a,\,w_1 = b;\,w_n = pw_{n - 1} - qw_{n - 2}\, (n \ge 2)$, where $a$, $b$, $p$ and $q$ are arbitrary complex numbers, with $p e 0$ and $q e 0$.

研究の動機と目的

• 任意の複素数パラメータを用いて定義される一般化第二階再帰列 $\{w_n\}$ の新しい重み付き和恒等式を導出すること。
• フィボナッチ、ラウス、ペル、ヤコブスティャール数などの特殊列に対する既知の二項和恒等式を、統一的な枠組みへ一般化すること。
• 二項係数、特徴的列 $u_r$ の累乗、再帰に基づく正規化係数を含む重み付き和を含む恒等式を確立すること。
• ホラダムらの以前の結果を拡張し、任意の複素数パラメータとすべての整数 $n$ に対して有効なパラメータ化された恒等式族を導入すること。
• 再帰構造と母関数技法を用いて、非自明な重み付き和（非二項型および超幾何型の和）の閉形式評価を提供すること。

提案手法

• 第二階線形再帰を満たす列と二項係数を用いた重み付き和を関連付ける一般化された二項和補題（補題3）を活用する。
• 再帰恒等式 $w_{m+r} = u_r w_m - q u_{r-1} w_{m-1}$ を用い、重み付き和を特徴的列 $u_r$ および $v_r$ で表現する。
• 正規化の基盤として、一般化フィボナッチ列 $u_n = u_n(p,q)$ である補助列 $u_n$ を用いる。
• 再帰構造 $w_n$ に適合するように、補題3の一般和公式に $x$, $y$, $\alpha$, $\beta$ の特定値を代入することで恒等式を導出する。
• 恒等式 $w_{n-r} w_{m+n+r} = w_n w_{m+n} + q^{n-r} e u_{r-1} u_{m+r-1}$（$e = pab - qa^2 - b^2$）を用い、非二項和恒等式を導出する。
• 既知の恒等式（例：ホラダム1967年の結果）を導出された定理の特別な場合として還元することで、結果の整合性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 第二階再帰構造を用いた一般化第二階列 $\{w_n\}$ の重み付き二項和を、体系的にどのように導出できるか？
• RQ2 二項係数 $\binom{k}{j}$、$u_r$ の累乗、$w_n$ のインデックスのシフトを含む重み付き和の一般形は何か？
• RQ3 $w_{rj}$ と幾何級数 $(-q u_{r-2})^{-j}$ を含む非二項和の閉形式評価は可能か？
• RQ4 導出された恒等式は、フィボナッチ数、ペル数、ヤコブスティャール数に対する既知の結果をどのように一般化するか？
• RQ5 特徴的列 $u_r$, $v_r$ およびパラメータ $e = pab - qa^2 - b^2$ は、これらの恒等式の構築において果たす役割は何か？

主な発見

• 恒等式 $(-q u_{r-1})^k \sum_{j=0}^k \binom{k}{j} \left(-\frac{u_r}{q u_{r-1}}\right)^j w_{m - k(r+1) + j} = w_m$ はホラダムの結果（1967年）を一般化し、すべての整数 $r \neq 0$ に対して成り立つ。
• 恒等式 $\sum_{j=0}^k \binom{k}{j} \frac{w_{m - k + rj}}{(q u_{r-2})^j} = \left(\frac{u_{r-1}}{q u_{r-2}}\right)^k w_m$ はすべての整数 $r \neq 1$ に対して成り立ち、$w_{rj}$ を含む重み付き和の新しい閉形式を提供する。
• 特別な場合 $w_n = G_n(a,b)$ に対して、恒等式 $\sum_{j=0}^k (-1)^j \binom{k}{j} \frac{G_{rj}}{F_{r-1}^j} = (-1)^k \left(\frac{F_r}{F_{r-1}}\right)^k G_k$ が導出され、既知のフィボナッチ和恒等式を一般化する。
• 非二項和 $u_{r-1} \sum_{j=0}^k \frac{w_{rj}}{(-q u_{r-2})^j} = \frac{w_{kr + r - 1}}{(-q u_{r-2})^k} + (a p - b) u_{r-2}$ が証明され、フィボナッチ数および $G_n$ 列を含む特別な場合が含まれる。
• 恒等式 $\sum_{j=0}^k \binom{k}{j} \frac{w_{m - k r + 2 r j}}{q^{r j}} = \left(\frac{v_r}{q^r}\right)^k w_m$ はすべての整数 $r$ に対して成り立ち、$v_r$ は一般化されたラウス数列である。
• 主恒等式に $p=1$, $q=-1$ を代入すると、$G_n$ 列について既知の結果が回復され、例として $\sum_{j=0}^k (-1)^{rj} \binom{k}{j} G_{m - k r + 2 r j} = (-1)^{r k} L_r^k G_m$ が得られ、先行研究と整合することが確認される。