[論文レビュー] Weighted trace cochains; a geometric setup for anomalies

Sylvie Paycha|ArXiv.org|Mar 14, 2005

Advanced Operator Algebra Research参考文献 8被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、正則化されたトレースを通じて擬微分作用素における代数的・幾何的異常を分析するための幾何的枠組みとして、重み付きトレースコホモロジーを導入する。正則化トレースを正則な作用素 Q の正の位数によって重み付けされた多重線形コホモロジーに拡張することで、ホッフシュライブ境界（代数的）および共変微分（幾何的）に起因する乖離が、Wodzicki の残留値の有限線形結合として表され、Mellin 変換および熱核の漸近展開を用いて明示的な公式が導かれる。

ABSTRACT

We extend formulae which measure discrepancies for regularized traces on classical pseudodifferential operators to regularized trace cochains, regularized traces corresponding to 0-regularized trace cochains. This extension from 0-cochains to $n$-cochains is appropriate to handle simultaneously algebraic and geometric discrepancies/anomalies. Algebraic anomalies are Hochschild coboundaries of regularized trace cochains on a fixed algebra of pseudodifferential operators weighted by a fixed classical pseudodifferential operator with positive order and positive scalar leading symbol. In contrast, geometric anomalies arise when considering families of pseudodifferential operators associated with a smooth fibration of manifolds. They correspond to covariant derivatives (and possibly their curvature) of smooth families of regularized trace cochains, the weight being here an elliptic operator valued form on the base manifold. Both types of discrepancies can be expressed as finite linear combinations of Wodzicki residues.We apply the formulae obtained in the family setting to build Chern-Weil type weighted trace cochains on one hand, and on the other hand, to show that choosing the curvature of a Bismut-Quillen type super connection as a weight, provides covariantly closed weighted trace cochains in which case the geometric discrepancies vanish.

研究の動機と目的

• 無限次元幾何学および量子場理論における異常を統一的に分析するための幾何的枠組みを構築すること。
• 重み作用素 Q を用いて、0-コホモロジー（トレース）からの正則化トレース関数の一般化を n-コホモロジー（多重線形形式）に拡張すること。
• 代数的異常（Hochschild コバウンダリー）と幾何的異常（コホモロジー族の共変微分）を区別し、特徴づけること。
• 両者の異常タイプが、Wodzicki の残留値の有限線形結合として表現可能であることを示すこと。
• Chern-Weil 型の重み付きトレースコホモロジーを構築し、幾何的異常が消える条件を同定すること。

提案手法

• 単体 Δₙ 上で t ↦ tr(A₀e⁻ᵗᵘ₀Q⋯Aₙe⁻ᵗᵘₙQ) の多重線形形式の Mellin 変換の有限部として、重み付きトレースコホモロジー χⁿ^Q を定義する。
• 熱トレースの Mellin 変換を用いて、z ↦ χ̄ₙ,ₚ(z) というメロモルフィック関数を定義し、その留数が作用素積の Wodzicki の残留値をもたらす。
• χⁿ^Q(A₀,…,Aₙ) に対する明示的公式を、tr^Q(A₀⋯Aₙ) に加えて、Q⁻|k| および Aᵢ⁽ᵏⁱ⁾ の随伴作用素に関する補正項として導出する。
• Hochschild コバウンダリー bχ²ᵖ^Q を、Q⁻|k|⁻¹ および高階の随伴微分を含む Wodzicki の残留値の有限和として表現する。
• 滑らかなファイブレーション上の代数族にこの形式を適用し、幾何的異常を基底多様体上の接続に関するコホモロジーの共変微分として解釈する。
• Bismut-Quillen のスーパーピングラスの曲率を重み Q として選ぶと、共変的に閉じたコホモロジーが得られ、幾何的異常が消えることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正則化トレースを擬微分作用素に一般化する際、線形汎関数から多重線形コホモロジーへの拡張は、代数的および幾何的異常を捉えるためにどのように行われるか？
• RQ2 積の循環トレースと重み付きトレースコホモロジーとの間の乖離の正確な構造は何か？ そして、局所不変量としてどのように表現されるか？
• RQ3 重み作用素 Q を導入した状況下で、Hochschild コバウンダリーとして生じる代数的異常は、Wodzicki の残留値とどのように関係するか？
• RQ4 滑らかな代数族の文脈において、幾何的異常は重み付きトレースコホモロジーの共変微分としてどのように特徴づけられるか？
• RQ5 幾何的異常が消える条件は何か？ また、スーパーピングラスの曲率はその条件において果たす役割は何か？

主な発見

• 重み付きトレースコホモロジー χⁿ^Q(A₀,…,Aₙ) は、tr^Q(A₀⋯Aₙ) に加えて、Q⁻|k| および Aᵢ の随伴微分を含む Wodzicki の残留値の有限和として与えられる。
• 2p-コホモロジーの Hochschild コバウンダリー bχ²ᵖ^Q は、(−1)^|k| |k|! / (k+1)! を係数とし、Q のべきを含む Wodzicki の残留値の有限線形結合として表現可能である。
• p=0 の場合、代数的異常 (b tr^Q)(A,B) は、k に関する和として、(−1)^k / (k+1) 倍の、AB⁽ᵏ⁺¹⁾Q⁻ᵏ⁻¹ の Wodzicki の残留値の和として表される。
• ファミリーにおける幾何的異常はコホモロジーの共変微分によって捉えられ、重みが Bismut-Quillen スーパーピングラスの曲率である場合に消える。
• この構成により、重みがスーパーピングラスの曲率であるとき、(b,B)-バイコホモロジー複体において閉じた Chern-Weil 型の重み付きトレースコホモロジーが得られる。
• 多重線形形式の Mellin 変換の公式は、χ̄ₙ,ₚ(z) ≃ Γ(z+n) TR(A₀⋯Aₙ Q⁻ⁿ⁻ᶻ) + ∑ 高階の随伴作用素および TR(Q⁻ⁿ⁻|k|⁻ᶻ) を含む項である。