[論文レビュー] Weighted Traces on Algebras of Pseudo-Differential Operators and Geometry of Loop Groups

Alexander Cardona, C. Ducourtioux+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 21, 2000

Advanced Operator Algebra Research参考文献 8被引用数 11

ひとこと要約

本稿では、正定値強退化的作用素 Q を用いたゼータ正則化作用素に基づく、古典的擬微分作用素への重み付きトレースを導入し、無限次元ループ群の幾何的枠組みを可能にする。これらのトレースを用いてラドゥルおよびシュヴィンガーのコサイクルを拡張し、それらのコhomological意義を確立するとともに、可逆な強退化的作用素の空間の基本群がグローテンディーク群 $ K_0(S^*M) $ に同型であることを証明し、インデックス理論を通じて作用素論と位相幾何学を結びつける。

ABSTRACT

Using {\it weighted traces} which are linear functionals of the type $$A o tr^Q(A):=(tr(A Q^{-z})-z^{-1} tr(A Q^{-z}))_{z=0}$$ defined on the whole algebra of (classical) pseudo-differential operators (P.D.O.s) and where $Q$ is some positive invertible elliptic operator, we investigate the geometry of loop groups in the light of the cohomology of pseudo-differential operators. We set up a geometric framework to study a class of infinite dimensional manifolds in which we recover some results on the geometry of loop groups, using again weighted traces. Along the way, we investigate properties of extensions of the Radul and Schwinger cocycles defined with the help of weighted traces.

研究の動機と目的

• 重み付きトレースを用いた擬微分作用素の幾何的枠組みを、特に無限次元多様体、特にループ群に対して開発すること。
• 重み付きトレースを用いてラドゥルおよびシュヴィンガーのコサイクルを拡張し、それらのコhomological性質を分析すること。
• 可逆な強退化的作用素の空間の位相的構造を、基本群の計算を通じて調査すること。
• ゼータ正則化トレースおよびウォドジッチ・トレースを、無限次元幾何における曲率および特徴類に関連付けること。
• 楕円的記号空間と作用素空間との間のホモトピー同値を確立し、それによって記号空間から位相不変量を導出可能にする。

提案手法

• 正則化されたゼータ関数を用いて、強退化的作用素のゼータ関数を正則化する形で、重み付きトレースを $ \mathrm{tr}^Q(A) := \left( \mathrm{tr}(AQ^{-z}) - z^{-1} \mathrm{tr}(AQ^{-z}) \right)_{z=0} $ として定義する。
• ゼータ正則化トレースを用いて、カレント群におけるリッチ曲率およびループ群における第一チャーン形式を定義する。
• 重み付きトレースを用いて、古典的擬微分作用素の全代数上の双線形汎関数を構成し、既知のコサイクルを拡張する。
• 可逆な強退化的作用素の空間の基本群が $ K_0(S^*M) $ に同型であることを、記号空間と作用素空間の間のホモトピー同値を用いて証明する。
• 連続的変形 $ F(A,s) = (1-s)\mathrm{Op}(\sigma_P(A)) + sA $ を用いて、恒等写像と合成写像 $ g \circ f $ の間のホモトピーを構成し、コンパクト摂動を補正する。
• 結果 $ \Pi_1(GL_N({\cal A})) \simeq K_0({\cal A}) $ を $ C(S^*M) $ に適用し、$ \Pi_1(S_P\mathrm{Ell}_{0}^{*,0}(M,1_N)) \simeq K_0(S^*M) $ を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 擬微分作用素への重み付きトレースは、無限次元ループ群にどのような幾何的構造を定義するために用いることができるか？
• RQ2 重み付きトレースは、ラドゥルおよびシュヴィンガーのコサイクルを拡張するにあたり、どのようにコhomological役割を果たすか？
• RQ3 ゼータ正則化トレースは、無限次元幾何における曲率および特徴類とどのように関係するか？
• RQ4 可逆な強退化的作用素の空間の基本群は何か？ また、記号空間を用いてどのように計算されるか？
• RQ5 重み付きトレースは、ループ群およびカレント群の位相的不変量をどの程度捉えられるか？

主な発見

• 可逆な強退化的作用素の弧状連結成分の基本群は、コスフェアバンドル上の連続関数のグローテンディーク群 $ K_0(S^*M) $ に同型である。
• 重み付きトレースの構成により、古典的擬微分作用素の全代数上の双線形汎関数が得られ、部分代数 $ g_{\mathrm{res}} $ 上ではねじれラドゥルおよびシュヴィンガーのコサイクルに制限される。
• 重み付きトレースが真のトレースでないという障害は、ウォドジッチ・トレースを用いて表現可能なコboundaryによって測定され、これはラドゥルコサイクルの一般化である。
• 可逆な強退化的作用素の空間 $ S_P\mathrm{Ell}_{0}^{*,0}(M,E) $ は、記号写像と作用素再構成写像の間のホモトピー同値により、$ \mathrm{Ell}_{0}^{*,0}(M,E) $ と同じ基本群を持つ。
• 恒等写像と $ g \circ f $ の間のホモトピーは、連続的経路 $ F(A,s) = \mathrm{Op}(\sigma_P(A))(1 + \phi(s)K) $ を用いて構成され、ここで $ \phi(s) $ はコンパクト摂動 $ K $ のスペクトルにおける特異点を避ける。
• 十分大きな $ N $ に対して、ランク $ N $ の自明なバンドル上の可逆な強退化的作用素の空間の基本群は $ K_0(S^*M) $ に同型であり、非自明な位相的構造が確認される。