[論文レビュー] Weil-etale Cohomology and Special Values of L-functions

Minh-Hoang Tran|arXiv (Cornell University)|Nov 6, 2016

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 9被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、数体の整数環の開部分スキーム上の強力なℤ-可 constructible シェーブーの Weil-étale コホロロジーおよびオイラー特徴量を構成する。Artin L関数のトーリック型の特殊値が s=0 において符号を除き、関連するシェーブーの Weil-étale オイラー特徴量に等しいことを証明し、代数的トーラスの Ono のタマガワ数公式に類似した公式を提示する。

ABSTRACT

We construct the Weil-étale cohomology and Euler characteristics for a subclass of the class of $\mathbb{Z}$-constructible sheaves on an open subscheme of the spectrum of the ring of integers of a number field. Then we show that the special value of an Artin L-function of toric type at zero is given by the Weil-étale Euler characteristic of an appropriate $\mathbb{Z}$-constructible sheaf up to signs. As applications of our result, we will prove a formula for the special value of the L-function of an algebraic torus at zero which is similar to Ono's Tamagawa Number Formula.

研究の動機と目的

• 数体の整数環のスペクトラム上のℤ-可 constructible シェーブーの部分クラスに対する Weil-étale コホロロジー理論を構築すること。
• 強力なℤ-可 constructible シェーブーの Weil-étale オイラー特徴量を定義・研究し、正規化、押し出しの整合性、乗法性といった主要な性質を満たすようにすること。
• s=0 におけるトーリック型の Artin L関数の特殊値と関連するシェーブーの Weil-étale オイラー特徴量との明確な関係を確立すること。
• 代数的トーラスの L関数の s=0 における特殊値について、Ono のタマガワ数公式に類似した公式を導出すること。
• Lichtenbaum の予想、すなわち L関数の特殊値が Weil-étale オイラー特徴量に符号化されているという証拠を提供すること。

提案手法

• Lichtenbaum の仕事のアイデアを応用し、全純でない数体に対応できるように調整した、Weil-étale コホロロジー複体の構成。
• スターリング ℤ-可 constructible シェーブーを、茎が有限生成アーベル群で、Galois作用が整合的であるようなℤ-可 constructible シェーブーの部分クラスとして定義。
• レギュレーター対とコンパクト台付きコホロロジーを用い、算術的不変量とオイラー特徴量を関連付ける。
• 付録に掲載の完全系列の行列式および torsion 部分群の位数に関する結果を応用し、オイラー特徴量を正確に計算。
• Artin-Verdier双対性および étale コホロロジーの道具立てを用い、L関数の特殊値とコホロロジー的不変量との関係を確立。
• 解析的および代数的技法を用いた比較により、Weil-étale オイラー特徴量と L関数の主要項との関係を主定理として確立。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 数体上のℤ-可 constructible シェーブーに対して、Weil-étale コホロロジーを体系的にどのように構成できるか？
• RQ2 L関数の不変量として意味を持つために、Weil-étale オイラー特徴量が満たすべき性質は何か？
• RQ3 s=0 におけるトーリック型の Artin L関数の特殊値は、関連するシェーブーの Weil-étale オイラー特徴量に等しいか？
• RQ4 Weil-étale コホロロジーを用いて、代数的トーラスの L関数に対してタマガワ数型の公式を導出できるか？
• RQ5 Weil-étale オイラー特徴量は、類数、レギュレーター、Tate-Shafarevich 群といった古典的不変量とどのように関係しているか？

主な発見

• s=0 におけるトーリック型の Artin L関数の特殊値 $ L_S^*(M,0) $ は、符号を除き、関連するシェーブーの Weil-étale オイラー特徴量 $ \rho_U(j_*M) $ に等しい。
• $ L_S(M,s) $ の s=0 における零点の重複度は、$ \mathrm{Hom}_U(j_*M, \mathbb{G}_m) $ の $ \mathbb{Z} $-ランクに等しい。
• 数体 $ K $ 上の代数的トーラス $ T $ に対して、特殊値 $ L_S^*(\hat{T},0) $ は、$ S $-類数 $ h_{T,S} $、$ S $-レギュレーター $ R_{T,S} $、単位根の個数 $ w_T $、および Tate-Shafarevich 群と Galois コホロロジー群の位数を含む公式で与えられる。
• $ L_S^*(\hat{T},0) $ の公式は、Ono のタマガワ数公式の構造と一致し、Weil-étale オイラー特徴量がタマガワ数の役割を果たす。
• 強力なℤ-可 constructible シェーブーの特定の短完全系列に関して、Weil-étale オイラー特徴量は乗法的である。
• 構成は有限押し出しと整合的である：有限準同型 $ \pi': V \to U $ に対して $ \chi_V(\mathcal{F}) = \chi_U(\pi'_*\mathcal{F}) $ が成り立つ。