[論文レビュー] Weil-Petersson metric on the universal Teichmuller space I: Curvature properties and Chern forms

Leon A. Takhtajan, Lee-Peng Teo|ArXiv.org|Dec 8, 2003

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 11被引用数 16

ひとこと要約

本稿は、普遍テイヒミュラー空間 $T(1)$ を、接空間上の $L^2$ 内積から導かれるウェイリ・ペトリス計量を備えた複素ヒルバート多様体として確立する。$T(1)$ は負のリッチ曲率および断面曲率を有するケーラー・アインシュタイン多様体であり、リーマン曲率テンソルはリゾルベント核を用いて計算され、普遍テイヒミュラー曲線のためのマムフォード＝ミラー＝モリータ特徴類形式が導出され、有限次元テイヒミュラー空間の明示的曲率公式が応用として得られる。

ABSTRACT

We prove that the universal Teichmuller space T(1) carries a new structure of a complex Hilbert manifold. We show that the connected component of the identity of T(1), the Hilbert submanifold T_{0}(1), is a topological group. We define a Weil-Petersson metric on T(1) by Hilbert space inner products on tangent spaces, compute its Riemann curvature tensor, and show that T(1) is a Kahler-Einstein manifold with negative Ricci and sectional curvatures. We introduce and compute Mumford-Miller-Morita characteristic forms for the vertical tangent bundle of the universal Teichmuller curve fibration over the universal Teichmuller space. As an application, we derive Wolpert curvature formulas for the finite-dimensional Teichmuller spaces from the formulas for the universal Teichmuller space.

研究の動機と目的

• 普遍テイヒミュラー空間 $T(1)$ にウェイリ・ペトリス計量を定義すること。$T(1)$ は本質的にバナッハ多様体であり、接空間に自然なヘルミート計量を備えていない。
• 接空間に $L^2$ 内積を導入することで $T(1)$ を複素ヒルバート多様体として確立し、明確なケーラー構造を可能にする。
• 双曲ラプラシアンのリゾルベント核を用いて、$T(1)$ 上のウェイリ・ペトリス計量のリーマン曲率テンソルを計算する。
• 普遍テイヒミュラー曲線のファイブレーションの垂直接続バンドルに対するマムフォード＝ミラー＝モリータ特徴類形式を導出する。
• 有限次元テイヒミュラー空間のウルフトの曲率公式を、普遍的設定から回復および一般化する。

提案手法

• ウェイリ・ペトリス計量は、普遍テイヒミュラー空間 $T(1)$ の単位元における接空間のヒルベルト空間内積を用いて定義され、ベルトラミ微分形式における $L^2$-推定を活用する。
• リーマン曲率テンソルは変分公式と双曲ラプラシアンのリゾルベント核を用いて計算され、複数の主値積分として表現される。
• 曲率公式は、双曲計量の2次変分と $\frac{1}{(z - \bar{w})^2}$ 項を含む積分核の使用によって導出される。
• 垂直バンドル $V$ のチャーン形式 $c_1(V)$ は、ヴェリング＝キリロフシンプレクティック形式を用いて構成され、リゾルベント核と関連づけられる。
• 単位円板 $\mathbb{U}$ 上の複素解析を用い、$\iint \iint \frac{\mu(w)\overline{\nu(u)}\nu(v)}{(w-\bar{z})^2(w-\bar{u})^2(v-\bar{u})^2(v-\bar{z})^2} d^2v d^2u d^2w$ 形の三重積分の $L^2$-ノルムに関する推定を、シュール型推定を介して行う。
• 曲率結果は、$T(\Gamma)$ への埋め込みを通じて $T(1)$ への引き戻しにより、有限次元テイヒミュラー空間 $T(\Gamma)$ へと拡張される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 普遍テイヒミュラー空間 $T(1)$ に一貫してウェイリ・ペトリス計量を定義できるか。$T(1)$ はバナッハ多様体であり、接空間に自然なヘルミート計量を備えていない。
• RQ2 ウェイリ・ペトリス計量の $T(1)$ 上の曲率特性、特にリッチ曲率および断面曲率は何か。
• RQ3 普遍テイヒミュラー曲線ファイブレーションに対するマムフォード＝ミラー＝モリータ特徴類形式はどのように構成できるか。
• RQ4 ウルフトの有限次元テイヒミュラー空間の曲率公式は、$T(1)$ 上の普遍的公式から導出可能か。
• RQ5 双曲ラプラシアンのリゾルベント核は、$T(1)$ 上の曲率テンソルを計算する際に果たす役割は何か。

主な発見

• 普遍テイヒミュラー空間 $T(1)$ は、接空間上の $L^2$ 内積を用いてウェイリ・ペトリス計量を備え、複素ヒルバート多様体として実現される。
• 単位元の連結成分 $T_0(1)$ は位相群であり、ウェイリ・ペトリス計量により $T(1)$ はケーラー・アインシュタイン構造を備える。
• 双曲ラプラシアンのリゾルベント核を用いて、$T(1)$ 上のウェイリ・ペトリス計量のリーマン曲率テンソルが明示的に計算される。
• リッチ曲率および断面曲率の両方が負であり、$T(1)$ が双曲的性質を有することを確認する。
• 普遍テイヒミュラー曲線の垂直接続バンドルの第1チャーン形式 $c_1(V)$ は、ヴェリング＝キリロフシンプレクティック形式と一致する。
• マムフォード＝ミラー＝モリータ特徴類形式が計算され、有限次元テイヒミュラー空間 $T(\Gamma)$ のウルフトの曲率公式が極限状況として得られる。