[論文レビュー] Weizmann Lectures on the Numerical Conformal Bootstrap

Shai M. Chester|arXiv (Cornell University)|Jul 11, 2019

Quantum Chromodynamics and Particle Interactions被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、$d>2$次元における conformal field theories (CFTs) の数値的 conformal bootstrap 法について、実用的で段階的なガイドを提供する。特に、SDPB を用いた semidefinite programming (SDP) を用いて交差対称性の制約を解く方法に焦点を当てている。混合自己相関関数 $\bbZ_2$ bootstrap を用いて 3次元イジング模型の臨界指数を計算し、スケーリング次元 $\Delta_\sigma$ と $\Delta_\epsilon$ について高精度の境界を得た。その結果は既知の結果と一致する。

ABSTRACT

These lectures were given at the Weizmann Institute in the spring of 2019. They are intended to familiarize students with the nuts and bolts of the numerical bootstrap as efficiently as possible. After a brief review of the basics of conformal field theory in $d>2$ spacetime dimensions, we discuss how to compute conformal blocks, formulate the crossing equations as a semi-definite programming problem, solve this problem using SDPB on a personal computer, and interpret the results. We include worked examples for all steps, including bounds for 3d CFTs with $\mathbb{Z}_2$ or $O(N)$ global symmetries. Each lecture includes a problem set, which culminate in a precise computation of the 3d Ising model critical exponents using the mixed correlator $\mathbb{Z}_2$ bootstrap. A Mathematica file is included that transforms crossing equations into the proper input form for SDPB.

研究の動機と目的

• 大学院生や研究者を対象に、CFT における数値的 conformal bootstrap の自己完結的で教育的な導入を提供すること。
• 交差方程式を semidefinite programming (SDP) として定式化し、SDPB を用いて個人用コンピュータでも効率的に解く手順を示すこと。
• 特に 3次元イジング模型を含む、グローバル対称性を持つ 3次元 CFT におけるスケーリング次元および OPE コefficient の高精度な計算を可能にすること。
• コンフォーマルブロックから SDP 制約への完全な計算パイプラインを提供し、入力準備のための Mathematica コードを含めること。
• 混合スカラー自己相関関数と $\bbZ_2$ 対称性を用いて、3次元イジング模型の bootstrap アイランドを $(\Delta_\sigma, \Delta_\epsilon)$ 空間で再現すること。

提案手法

• $d>2$ 次元におけるスカラー演算子に対して、Zamolodchikov の再帰的関係を用いてコンフォーマルブロックを導出する。
• 交差方程式を、交差比の展開と径方向展開法を適用することで多項式行列計画問題として定式化する。
• SDPB ソルバを用いて、収束性と数値的安定性に特に注意を払い、半定値計画法 (SDP) による制約を実装する。
• $\bbZ_2$ 対称性を持つ理論における、2つのスカラー演算子 $\sigma$ と $\epsilon$ を持つ混合自己相関ブロック $g_{\Delta,\ell}^{\Delta_{ij},\Delta_{kl}}$ を構築する。
• スペクトルに $\sigma$ と $\epsilon$ のみを関連演算子として制限することで、3次元イジング模型を特定するためのギャップ仮定を適用する。
• ポールや微分の取り扱いを適切に行うためのカスタム Mathematica スクリプトを用いて、交差方程式から SDPB 入力ファイルを生成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 CFT にあまり馴染みのない学生に対して、数値的 conformal bootstrap を体系的にどのように教えることができるか？
• RQ2 3次元における混合スカラー自己相関関数のための、コンフォーマルブロックと交差方程式を計算する明確な手順は何か？
• RQ3 半定値計画法を用いて、$\bbZ_2$ 対称性を持つ 3次元 CFT におけるスケーリング次元の厳密な境界をどのように導出できるか？
• RQ4 $\Lambda=11$ を用いた混合自己相関関数ブートストラップによって、3次元イジング模型の臨界指数を正確に再現できるか？
• RQ5 ギャップ仮定と対称性の制約は、ブートストラップの多様性の中で 3次元イジング模型を特定するために果たす役割は何か？

主な発見

• 本論文は、$\Lambda=11$ を用いた混合自己相関関数 $\bbZ_2$ ブートストラップにより、3次元イジング模型の $(\Delta_\sigma, \Delta_\epsilon)$ 空間におけるブートストラップアイランドを成功裏に再現した。
• $\Delta_\sigma$ と $\Delta_\epsilon$ に対する計算された境界は、モンテカルロシミュレーションや他のブートストラップ研究からの既知の結果と整合的である。
• Zamolodchikov の再帰的関係を用いて、$r_{\text{max}}=20$ のオーダーまで高精度なコンフォーマルブロックを計算した。特異点の置換により、交差対称点での精度が保証された。
• 混合ブロックのための SDPB 制約の実装には、各 $(\Delta_{\sigma}, \Delta_{\epsilon})$ 組み合わせに対して新しい導関数行列 $Q^{m,n}_{\ell}$ の計算が必要であり、これは scalar_blocks パッケージによって効率的に処理された。
• 問題セットの結果から、$(\Delta_\sigma, \Delta_{\epsilon})$ 空間におけるわずかなグリッド点でも、許容領域が不許容領域に囲まれた明確な領域が得られ、3次元イジング模型のアイランドの存在が確認された。
• 提供された Mathematica スクリプトにより、交差方程式から SDPB 入力フォーマットへの変換が自動化され、この手法の再現可能性とスケーラビリティが実現された。