[論文レビュー] Well-founded Boolean ultrapowers as large cardinal embeddings

Joel David Hamkins, Daniel Evan Seabold|arXiv (Cornell University)|Jun 26, 2012

Advanced Topology and Set Theory参考文献 4被引用数 23

ひとこと要約

この論文は、完全なブール代数上の超フィルターを用いて構成されるwell-foundedなブール超冪——特に、強力コンパクト性やスーパーcompactnessを仮定した場合——が、大基数埋め込みを生じさせることを確立し、フォースィングと大基数をブール超冪構成の両面として統一する。主な結果は、このような埋め込みが、ブール代数によって強制される任意の文を満たす帰納的内部分モデルを実現できることである。

ABSTRACT

Boolean ultrapowers extend the classical ultrapower construction to work with ultrafilters on any complete Boolean algebra, rather than only on a power set algebra. When they are well-founded, the associated Boolean ultrapower embeddings exhibit a large cardinal nature, and the Boolean ultrapower construction thereby unifies two central themes of set theory---forcing and large cardinals---by revealing them to be two facets of a single underlying construction, the Boolean ultrapower.

研究の動機と目的

• フォースィングと大基数という基礎的集合論的概念を、単一の構成であるブール超冪から生じることを示すことにより、それらを統一すること。
• ブール超冪がwell-foundedである条件を特定し、それによって大基数埋め込みが得られることを示すこと。これは、冪集合代数を超える古典的超冪理論への拡張である。
• ブール超冪が古典的超冪と一致する条件、あるいは既知の大基数埋め込みを実現する条件を同定すること。
• 反復測度における標準的ジェネリック対象（例：臨界列）が、ブール超冪から自然に生じる程度を調査すること。
• Bukovský-Dehornoy現象（反復の共通部分 = 強制拡張）が、Prikry強制を超えるより広いクラスのブール超冪へ一般化されるかどうかを特定すること。

提案手法

• 任意の完全なブール代数上にブール値モデルを構成し、一階言語の原子論理式にブール値を割り当て、それらを再帰的にすべての論理式へ拡張する。
• 完全なブール代数上の超フィルターを用いてブール超冪を定義し、ホモモーティズムからブール代数への写像を介して、シードイデアルを用いて超フィルターを生成する。
• well-foundedなブール超冪に対してMostowski崩壊を適用し、強制されたすべての文を満たすZFCの帰納的内部分モデルを得る。
• ブール超冪の拡張子的表現を用いて、部分関数をブール代数上で定義し、埋め込みをモデル化する。これにより、古典的超冪構成を一般化する。
• 部分順序による強制とそれに対応するブール代数との関係を分析し、ブール超冪構成がwell-foundedなモデルを生じる条件を明確にする。
• ブール超冪枠組みにおける部分代数、商、積、イデアルを調査し、構造的相互作用と埋め込み性質を理解する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのような条件下でブール超冪がwell-foundedとなり、大基数埋め込みを生じるのか？
• RQ2 強力コンパクト性やスーパーcompactnessを仮定した場合、反復正規測度から生じる大基数埋め込みが、どの程度ブール超冪として実現可能か？
• RQ3 Bukovský-Dehornoy現象（完全な反復 = 有限反復の共通部分）は、Prikry強制を超えるより広いクラスのブール超冪へ一般化可能か？
• RQ4 ブール超冪と古典的超冪の関係は何か？また、それらがいつ等価になるのか？
• RQ5 大基数埋め込みの標準的ジェネリック対象（例：臨界列）が、ブール超冪構成から体系的に導出可能か？

主な発見

• well-foundedなブール超冪は、対応するブール代数によって強制されるすべての文を満たすZFCの帰納的内部分モデルを生じさせ、強制拡張構成を一般化する。
• 強制ノーションが$<\kappa$-フレンドリーであり、$ \kappa$ が強くコンパクトである場合、ブール超冪構成はwell-foundedなモデルを生じさせ、事前にジェネリック性を仮定しなくても強制拡張を捉える。
• well-foundedなブール超冪から生じる埋め込み$j: V \to \overline{V}$は、強制拡張$V[G]$と同型であり、$ \overline{V}$は超冪のMostowski崩壊である。
• 測度が可測基数$\kappa$上の正規測度であるPrikry強制において、$\omega$-反復埋め込み$j_\omega: V \to M_\omega$はブール超冪として実現され、長年の予想が裏付けられた。
• 反復正規測度の臨界列が、対応するブール超冪の標準的ジェネリック対象と同一であることが示され、大基数構造と強制の間の深い関係が明らかになった。
• ブール超冪構成は、拡張子モデルのアプローチを一般化し、冪集合代数が存在しない状況でも、ブール代数と超フィルターを用いた一様な埋め込みの提示を可能にする。