[論文レビュー] Well-posedness and ill-posedness results for dissipative Benjamin-Ono equations

Stéphane Vento|Osaka City University (Osaka City University)|Feb 7, 2008

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 21被引用数 10

ひとこと要約

この論文は、$ \mathbb{R} $ 上の散乱型 Benjamin-Ono 方程式 $ u_t + \mathcal{H}u_{xx} + |D|^\alpha u + u u_x = 0 $ に対して鋭い適切性および不適切性の結果を確立し、$ 1 < \alpha \leq 2 $ および $ s > -\alpha/4 $ の場合に $ H^s(\mathbb{R}) $ で大域的適切性を示している。この正則性閾値は最適である。$ 0 \leq \alpha < 1 $ の場合、解の流れ写像が原点で $ C^2 $ でないため、すべての $ s \in \mathbb{R} $ に対して $ H^s $ で不適切である。

ABSTRACT

We study the Cauchy problem for the dissipative Benjamin-Ono equations $u_t+\H u_{xx}+|D|^αu+uu_x=0$ with $0\leqα\leq 2$. When $0\leqα&lt; 1$, we show the ill-posedness in $H^s(\R)$, $s\in\R$, in the sense that the flow map $u_0\mapsto u$ (if it exists) fails to be $\C^2$ at the origin. For $1-α/4$. It turns out that this index is optimal.

研究の動機と目的

• 散乱型 Benjamin-Ono 方程式における分数階散乱 $ |D|^\alpha $、$ \alpha \in [0,2] $ の大域的適切性の最適正則性閾値を特定すること。
• 解写像が $ 0 \leq \alpha < 1 $ の場合に原点で $ C^2 $ でないことを確立し、すべての $ s \in \mathbb{R} $ に対して $ H^s $ で不適切性を示すこと。
• $ 1 < \alpha \leq 2 $ の場合に正則性閾値 $ s > -\alpha/4 $ が鋭いことを、3階反復項を用いてこの指数未満で $ C^3 $ 正則性が成立しないことを示すこと。
• 散乱型 Benjamin-Ono 方程式と純粋散乱型方程式 $ u_t + |D|^\alpha u + u u_x = 0 $ の正則性要件を比較し、分散性がより低い正則性を許容することを示すこと。

提案手法

• 重み付き Bourgain 型空間 $ X^{b,s}_\alpha $ における方程式の積分形式に固定点法を適用し、ノルム $ \|u\|_{X^{b,s}_\alpha} = \| \langle i(\tau - \xi|\xi|) + |\xi|^\alpha \rangle^b \langle \xi \rangle^s \mathcal{F}u(\tau,\xi) \|_{L^2(\mathbb{R}^2)} $ で定義される。
• Plancherel の定理と双対性を用いて、$ X^{b,s}_\alpha $ 空間における2次形式の評価を導出し、$ L^2 $ 関数の重み付き畳み込みの推定に帰着する。
• Tao の研究にインspされたdyadic 分解および正交性技術を用いて、分散効果が非線形相互作用を十分に制御できない低正則性領域を扱う。
• $ \alpha < 1 $ の不適切性結果は、2回目の反復における高周波数-高周波数相互作用を用いて、解写像が原点で $ C^2 $ でないことを示す近似解を構成することで確立する。
• 鋭さの証明のために、周波数空間で第3反復 $ u_2 $ を分析し、$ s < 3/2 - \alpha $ のとき $ \|u_2(t_N)\|_{H^s} \to \infty $ が $ N \to \infty $ のとき成り立つことを示し、$ C^3 $ 正則性の失敗を示す。
• 分析を純粋散乱型方程式 $ u_t + |D|^\alpha u + u u_x = 0 $ に拡張し、$ s > 3/2 - \alpha $ で適切性が成り立つことを示し、分散性が必要な正則性を低下させることを確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 散乱型 Benjamin-Ono 方程式に $ |D|^\alpha $ 散乱を適用した場合の最適正則性閾値 $ s $ は何か？
• RQ2 なぜ解写像は $ 0 \leq \alpha < 1 $ の場合に原点で $ C^2 $ でないのか？ これは不適切性の性質にどのような意味を持つのか？
• RQ3 ヒルベルト変換による分散性 $ \mathcal{H}u_{xx} $ は、純粋散乱型方程式と比較して正則性閾値にどのような影響を与えるか？
• RQ4 解写像の高次反復項を用いて、正則性閾値 $ s > -\alpha/4 $ の鋭さを証明できるか？
• RQ5 Benjamin-Ono-Burgers 方程式（$ \alpha = 2 $）の臨界正則性と Burgers 方程式との間にどのような関係があるか？

主な発見

• 方程式は $ 1 < \alpha \leq 2 $ および $ s > -\alpha/4 $ の場合に $ H^s(\mathbb{R}) $ で大域的適切であり、この正則性閾値は鋭い。
• $ 0 \leq \alpha < 1 $ の場合、解写像 $ u_0 \mapsto u $ は $ H^s(\mathbb{R}) $ の原点で $ \mathcal{C}^2 $ でないため、すべての $ s \in \mathbb{R} $ に対して不適切である。
• $ s > -\alpha/4 $ 閾値の鋭さは、第3反復 $ u_2 $ が $ s < 3/2 - \alpha $ のとき $ H^s $ で有界でなくなることにより確認され、$ \mathcal{C}^3 $ 正則性の失敗を示す。
• 純粋散乱型方程式 $ u_t + |D|^\alpha u + u u_x = 0 $ では、$ s > 3/2 - \alpha $ で適切性が成り立つことが示され、分散性が散乱のみの場合と比較して必要な正則性を低下させることを確認する。
• 完全な散乱型 Benjamin-Ono 方程式の臨界正則性指数 $ s = -\alpha/4 $ は最適であり、$ s < -\alpha/4 $ のとき解写像は $ H^s $ で $ \mathcal{C}^3 $ でないことが失敗する。
• $ \alpha = 2 $ の場合、Benjamin-Ono-Burgers 方程式は既知の鋭い閾値 $ s > -1/2 $ を回復し、$ \mathcal{C}^3 $ 失敗を用いてそれが鋭いことが示された。