[論文レビュー] Well-posedness and long time behavior in nonlinear dissipative hyperbolic-like evolutions with critical exponents

Igor Čhuešhov, Irena Lasiecka|arXiv (Cornell University)|Apr 26, 2012

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 58被引用数 13

ひとこと要約

本稿は、ソースおよび減衰に臨界的・超臨界的非線形性を有する非線形的散逸的双曲型PDEに対して、適切な定義と長時間挙動を確立する。キャンセルレーション、調和解析、幾何的手法（重み付きエネルギー不等式および補償コンパクト性を含む）を活用することで、準安定性を証明し、臨界性および幾何的に制約された減衰の下でも、有限次元のグローバルアトラクターの存在を導く。

ABSTRACT

These lectures present the analysis of stability and control of long time behavior of PDE models described by nonlinear evolutions of hyperbolic type. Specific examples of the models under consideration include: (i) nonlinear systems of dynamic elasticity: von Karman systems, Berger's equations, Kirchhoff - Boussinesq equations, nonlinear waves (ii) nonlinear flow - structure and fluid - structure interactions, (iii) and nonlinear thermo-elasticity. A characteristic feature of the models under consideration is criticality or super-criticality of sources (with respect to Sobolev's embeddings) along with super-criticality of damping mechanisms which, in addition, may be also geometrically constrained. Our aim is to present several methods relying on cancelations, harmonic analysis and geometric analysis, which enable to handle criticality and also super-criticality in both sources and the damping of the underlined nonlinear PDE. It turns out that if carefully analyzed the nonlinearity can be taken "advantage of" in order to produce implementable damping mechanism. Another goal of these lectures is the understanding of control mechanisms which are geometrically constrained. The final task boils down to showing that appropriately damped system is "quasi-stable" in the sense that any two trajectories approach each other exponentially fast up to a compact term which can grow in time. Showing this property- formulated as quasi-stability estimate -is the key and technically demanding issue that requires suitable tools. These include: weighted energy inequalities, compensated compactness, Carleman's estimates and some elements of microlocal analysis.

研究の動機と目的

• 臨界的または超臨界的ソースおよび減衰を有する非線形双曲型PDEの適切な定義および長時間安定性を確立すること。
• Sobolev埋め込みにおける臨界性および幾何的に制約された減衰が引き起こす数学的課題に対処できる分析的ツールを開発すること。
• 非線形性が、実装可能な減衰機構を生み出すために利用可能であることを示すこと。
• 準安定性フレームワークを通じて、有限次元グローバルアトラクターの存在を証明すること。
• 流体-構造相互作用、熱弾性、量子系を含む多様なモデルへの理論の拡張

提案手法

• 高階ノルムにおける成長を制御し、臨界的非線形性を扱うために重み付きエネルギー不等式を用いる。
• 超臨界的非線形性が存在する状況でも弱コンパクト性を回復するために、補償コンパクト性およびCarleman推定を適用する。
• 特異性および臨界的領域における正則性の損失を扱うために、微局所解析および調和解析のツールを用いる。
• 軌道がコンパクト項まで指数的に収束するという性質を持つ「準安定性」の概念を導入し、中心的分析的ツールとする。
• ジョン・ボールのエネルギー法と補償コンパクト性技術を組み合わせ、半群の漸近的滑らかさを証明する。
• キルホフ＝ブジネスクおよび量子ザハロフ系のような高階または非局所項を有するモデルにおける適切な定義に、セデンコの手法を適応する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 超臨界的非線形ソースおよび減衰を有する双曲型PDEに対して、どのように適切な定義を確立できるか？
• RQ2 臨界的または超臨界的領域において、非線形性が本来不安定な系を安定化させるメカニズムは何か？
• RQ3 幾何的に制約された減衰および臨界的非線形性を有する系に対して、グローバルアトラクターが存在するか？
• RQ4 準安定性フレームワークは、有限次元の長時間ダイナミクスの証明をどのように可能にするか？
• RQ5 開発された手法は、流体-構造相互作用、熱弾性、量子PDE系へどの程度一般化可能か？

主な発見

• エネルギー推定およびコンパクト性の議論を用いて、臨界的および超臨界的非線形性を有する広範な双曲型PDEのクラスに対して適切な定義が確立された。
• 重み付きエネルギー不等式および補償コンパクト性を用いて、準安定性推定が証明され、軌道がコンパクト項まで指数的に収束することが保証された。
• ヴァン・カラマン板、キルホフ＝ブジネスク方程式、臨界的減衰を有する波動方程式を含むモデルに対して、有限次元グローバルアトラクターが存在することが示された。
• 次元d ≤ 3における量子ザハロフ系に対しても、高階正則化（h²Δ²項）が存在する場合でさえ、グローバルアトラクターの存在が示された。
• 非線形結合および減衰を有するシュレーディンガー＝ブジネスク系は、非線形性の標準的成長条件の下で有限次元アトラクターを有することが示された。
• 流体-構造相互作用およびミンドリン＝ティモシェンコビームのような複雑系に対しても、同じ分析的フレームワークを用いて適切な定義およびアトラクターの存在が確認された。