[論文レビュー] Well-posedness and longtime behavior for the modified phase-field crystal equation

Maurizio Grasselli, Hao Wu|arXiv (Cornell University)|Jun 25, 2013

Solidification and crystal growth phenomena参考文献 17被引用数 11

ひとこと要約

本稿では、周期的境界条件を伴う修正型相場水晶（MPFC）方程式の適切性と長期間の挙動を確立し、エネルギー空間における解の存在と一意性を証明するとともに、Łojasiewicz-Simon不等式を用いて平衡状態への収束を示した。さらに、指数的吸引子を構成し、平衡状態への軌道の多項式的減衰率を導出した。

ABSTRACT

We consider a modification of the so-called phase-field crystal (PFC) equation introduced by K.R. Elder et al. This variant has recently been proposed by P. Stefanovic et al. to distinguish between elastic relaxation and diffusion time scales. It consists of adding an inertial term (i.e. a second-order time derivative) into the PFC equation. The mathematical analysis of the resulting equation is more challenging with respect to the PFC equation, even at the well-posedness level. Moreover, its solutions do not regularize in finite time as in the case of PFC equation. Here we analyze the modified PFC (MPFC) equation endowed with periodic boundary conditions. We first prove the existence and uniqueness of a solution with initial data in a bounded energy space. This solution satisfies some uniform dissipative estimates which allow us to study the global longtime behavior of the corresponding dynamical system. In particular, we establish the existence of an exponential attractor. Then we demonstrate that any trajectory originating from the bounded energy phase space does converge to a unique equilibrium. This is done by means of a suitable version of the Łojasiewicz-Simon inequality. A convergence rate estimate is also given.

研究の動機と目的

• 初期速度に制限を設けずに、エネルギー空間における修正型相場水晶（MPFC）方程式の解の存在と一意性を確立すること。
• 解の長期間挙動を分析し、指数的吸引子の存在と平衡状態への収束を明らかにすること。
• 古典的PFC方程式とは異なり、MPFC解が有限時間で正則化されないという課題を克服すること。
• Łojasiewicz-Simon不等式を用いて、軌道が平衡状態に収束することを証明し、明示的な減衰率の見積もりを提供すること。
• MPFCモデルにおける慣性項の影響により、質量保存が有限時間には成立せず、漸近的にのみ成立することを示すこと。

提案手法

• エネルギー推定とガラーキン近似を用いて、有界なエネルギー空間における弱解の存在と一意性を証明する。
• 長期間のダイナミクスを制御するため、エネルギーおよび散逸項に関する一様な散逸推定を導出する。
• 散逸推定とŁojasiewicz-Simon不等式の枠組みを組み合わせることで、指数的吸引子を構成する。
• エネルギー汎関数に修正されたŁojasiewicz-Simon不等式を適用し、軌道が平衡状態に収束することを証明する。
• 重み付きエネルギー推定と補間不等式を用いて、負のソボレフノルムにおける減衰率を導出する。
• 時刻重み付きエネルギー法とGronwall型の議論を用いて、解と平衡状態との差の減衰を制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 修正型相場水晶方程式は、エネルギー空間内の初期データに対して一意なグローバル解をもつか？
• RQ2 MPFC方程式の長期間ダイナミクスは指数的吸引子によって記述可能か？
• RQ3 エネルギー空間からの出発するすべての軌道は、一意な平衡状態に収束するか？
• RQ4 解が平衡状態に収束する減衰率は何か、そしてその定量的評価は可能か？
• RQ5 慣性項の存在が、古典的PFC方程式と比較して正則性および長期間挙動に与える影響は何か？

主な発見

• 初期データがエネルギー空間に属する限り、MPFC方程式は一意なグローバル解をもつ。なお、初期速度に制限を設けない。
• 解はエネルギーと散逸を時間とともに制御する一様な散逸推定を満たす。
• MPFC方程式によって生成される力学系に対して、指数的吸引子が存在する。
• 任意の軌道は、時刻が無限大に近づくにつれて、一意な平衡点に収束する。
• 解が平衡状態に収束する減衰率は、$ \|\overline{\phi}(t) - \overline{\phi}_\infty\|_{-1} \leq C(1+t)^{-\frac{\theta}{1-2\theta}} $ と推定され、$ \theta \in (0, \frac{1}{2}) $ を満たす。
• また、$ \mathbb{X}_0 $-ノルムにおける減衰率も確立されており、平衡状態への多項式的収束が確認された。