[論文レビュー] Well posedness and unconditional non uniqueness for a 2D semilinear heat equation

Slim Ibrahim, Rym Jrad+2 more|arXiv (Cornell University)|Aug 14, 2010

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 18被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、2次元半線形熱方程式における指数型非線形項を扱い、$H^1(\mathbb{R}^2)$ 上で局所的well-posednessおよび無条件一意性を確立する。一方、初期データの空間を$H^1$からわずかに拡大した場合、一意性が失われることを示す。主な結果は、可積分ではあるが$L^\infty$に属さない特異な定常解を用いて非一意性を示しており、熱作用素の$L^1$型ポテンシャルに対する正則化効果を応用している。

ABSTRACT

We investigate the initial value problem for a semilinear heat equation with exponential-growth nonlinearity in two space dimension. First, we prove the local existence and unconditional uniqueness of solutions in the Sobolev space $H^1(\R^2)$. The uniqueness part is non trivial although it follows Brezis-Cazenave's proof \cite{Br} in the case of monomial nonlinearity in dimension $d\geq3$. Next, %Following Caffarelli-Vasseur \cite{cv}, we show that in the defocusing case our solution is bounded, and therefore exists for all time. In the focusing case, we prove that any solution with negative energy blows up in finite time. Lastly, we show that the unconditional result is lost once we slightly enlarge the Sobolev space $H^1(\R^2)$. The proof consists in constructing a singular stationnary solution that will gain some regularity when it serves as initial data in the heat equation. The Orlicz space appears to be appropriate for this result since, in this case, the potential term is only an integrable function.

研究の動機と目的

• 2次元半線形熱方程式における指数型非線形項に対して、$H^1(\mathbb{R}^2)$ 上での局所的解の存在および無条件的一意性を確立する。
• 発散型および収束型の場合の解の長期的挙動を解析し、負エネルギー解に対して有界性および有限時刻 blow-up を示す。
• 初期データ空間を$H^1(\mathbb{R}^2)$ からわずかに拡大した場合、無条件的一意性が成立しなくなることを示し、一意性の鋭い閾値を特定する。
• 原点を除いた平面上に、可積分ではあるが$L^\infty$に属さない特異な定常解を構成し、一意性の反例とする。

提案手法

• $H^1(\mathbb{R}^2)$ 上での局所的解の存在および一意性を、適切な関数空間における固定点法を用いて証明し、熱半群の正則化性を応用する。
• 臨界的2次元設定における指数型非線形項の制御のため、Moser-Trudinger 不等式を用い、$\varepsilon>0$ が十分小さいときの$L^{1+\varepsilon}$ における非線形項の有界性を保証する。
• $\mathbb{R}^2 \setminus \{0\}$ 上で $-\Delta Q = f(Q)$ を満たす特異な定常解 $Q$ を構成し、$Q \in \mathcal{L}(B_1)$ となるようにする。ここで $\mathcal{L}(B_1)$ は $\exp(|x|^2)$ の成長を特徴とするOrlicz空間である。
• $\mathcal{L}(B_1)$ 内の解に対して、潜在項 $f(u)$ が $L^1$ に属することを示し、Brezis-Cazenave の正則化結果を熱方程式に適用可能にする。
• 特異解 $Q$ に熱フローを適用し、$t>0$ で解 $u(t)$ が $L^\infty$ に滑らかになる一方、$v(t) \equiv Q$ は特異のままであることを示す。
• 時間重み付きOrlicz空間 $\mathcal{L}_T$ 内の半径 $r$ の球上で収縮写像法を用い、$L^\infty$ に有界な解 $u$ を、十分小さい時間 $T$ に対して構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2次元半線形熱方程式における指数型非線形項に対して、初期値問題は$H^1(\mathbb{R}^2)$ 上でwell-posedであるか？
• RQ2 2次元においてスケーリング不変性がないにもかかわらず、$H^1(\mathbb{R}^2)$ 上の解に対して無条件的一意性は成立するか？
• RQ3 初期データ空間を$H^1(\mathbb{R}^2)$ からわずかに拡大した場合、一意性の結果は保たれるか？
• RQ4 Orlicz空間 $\mathcal{L}(B_1)$ は、指数型非線形項および特異な初期データを扱う上で果たす役割は何か？
• RQ5 特異な定常解を用いて、同じ初期値問題に対して複数の解を構成し、非一意性を示すことができるか？

主な発見

• 指数型非線形項を有する2次元半線形熱方程式の初期値問題は、$H^1(\mathbb{R}^2)$ 上で一意的な局所解を有する。一意性は固定点法およびMoser-Trudinger型推移による。
• 発散型の場合、$H^1(\mathbb{R}^2)$ 内の初期データを持つ解はエネルギー保存則と$L^\infty$ 正則化効果により、時間全域で有界で、グローバルに存在する。
• 収束型の場合、初期エネルギーが負である任意の解は、$L^2$-ノルムに関する凹性議論により、有限時刻で blow-up を示す。
• $H^1(\mathbb{R}^2)$ をわずかに超えた初期データ空間に拡大した場合、無条件的一意性は成立しない。特異な定常解 $Q \in \mathcal{L}(B_1)$ が存在するが、$L^\infty$ には属さない。一方、熱フローはその解を $t>0$ で $L^\infty$ に正則化する。
• $u(t)$ は $L^\infty((0,T);L^\infty)$ に属するが、定数関数 $v(t) \equiv Q$ は特異のままであるため、$u \neq v$ であり、非一意性が示される。
• $\mathcal{L}(B_1)$ は非一意性の結果に対して最適である。この空間では潜在項 $f(u)$ が可積分となる一方、熱フローによって解は正則性を獲得する。