[論文レビュー] Well-Posedness for Some Non-Linear Diffusion Processes and Related PDE on the Wasserstein Space

Paul-Éric Chaudru de Raynal, Noufel Frikha|arXiv (Cornell University)|Nov 16, 2018

Stochastic processes and financial applications参考文献 25被引用数 23

ひとこと要約

本稿では、係数の弱い正則性仮定の下で、非線形 McKean-Vlasov SDE および関連する線形 PDE が Wasserstein 空間上で適切に定式化されることを、完備な距離空間上の不動点議論を用いて示している。遷移密度の存在と滑らかさが証明され、その導関数に対してガウス型の評価が得られ、不規則なデータをもつ線形初期値問題に対しても解の存在と一意性が確立されている。

ABSTRACT

In this paper, we investigate the well-posedness of the martingale problem associated to non-linear stochastic differential equations (SDEs) in the sense of McKean-Vlasov under mild assumptions on the coefficients as well as classical solutions for a class of associated linear partial differential equations (PDEs) defined on $[0,T] imes \mathbb{R}^d imes \mathcal{P}\_2(\mathbb{R}^d)$, for any $T>0$, $\mathcal{P}\_2(\mathbb{R}^d)$ being the Wasserstein space (i.e. the space of probability measures on $\mathbb{R}^d$ with a finite second-order moment). In this case, the derivative of a map along a probability measure is understood in the Lions' sense. The martingale problem is addressed by a fixed point argument on a suitable complete metric space, under some mild regularity assumptions on the coefficients that covers a large class of interaction. Also, new well-posedness results in the strong sense are obtained from the previous analysis. Under additional assumptions, we then prove the existence of the associated density and investigate its smoothness property. In particular, we establish some Gaussian type bounds for its derivatives. We eventually address the existence and uniqueness for the related linear Cauchy problem with irregular terminal condition and source term.

研究の動機と目的

• 係数の弱い正則性仮定の下で、非線形 McKean-Vlasov SDE の弱解および強解の適切な定式化を確立すること。
• 関連する SDE に対する遷移密度の存在と滑らかさを証明し、その導関数に対してガウス型の評価を示すこと。
• 不規則な端末項および源項をもつ Wasserstein 空間上での線形初期値問題を解くこと。
• Lions の確率測度上の微分法を用いて、平均場設定へのパラメトリックス技法の拡張を行うこと。
• 確率測度の完備な距離空間上での不動点議論を用いて、マルティンゲール問題の定式化を扱うこと。

提案手法

• Lions の微分を用いて、Wasserstein 空間上の McKean-Vlasov SDE のマルティンゲール問題を定式化する。
• 確率測度の完備な距離空間上での不動点議論を用いて、弱一意性を証明する。
• 摂動解析のための、パラメトリックス法に基づく遷移密度の弱い表現を用いる。
• 時間と空間の増分を制御するため、空間時間不等式および Hölder 正則性推定を用いる。
• 反復的推定と熱核比較を用いて、密度およびその導関数に対するガウス型の評価を導出する。
• 双対性および正則性の伝達を用いて、不規則な端末および源項をもつ Wasserstein 空間上での線形 PDE の解の存在と一意性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非線形 McKean-Vlasov SDE のマルティンゲール問題が、係数に対してどのような弱い正則性条件下で一意解をもつか。
• RQ2 このような SDE に付随する遷移密度の滑らかさおよび減衰性の性質は何か。
• RQ3 平均場設定において、遷移密度の導関数に対してガウス型の評価を確立できるか。
• RQ4 非線形拡散過程の文脈において、パラメトリックス法を Wasserstein 空間枠組みにどのように適合できるか。
• RQ5 不規則なデータをもつ Wasserstein 空間上での線形初期値問題に対し、解の存在と一意性を保証する条件は何か。

主な発見

• 係数の弱い正則性仮定の下で、非線形 McKean-Vlasov SDE のマルティンゲール問題は適切に定式化される。具体的には、測度変数に関して時間と空間の Hölder 連続性が仮定されている。
• 遷移密度は存在し、滑らかである。その導関数は、$ C(t-s)^{-n/2} e^{-c|z-x|^2/(t-s)} $ の形のガウス型評価を満たす。ここで $ n $ は導関数の順序を表す。
• 密度およびその導関数が時間と空間で Hölder 連続であることが示され、Hölder 指数 $ \eta $ および時間距離 $ t-s $ に対する明示的な依存関係が特定されている。
• パラメトリックス展開技法が、平均場設定へ成功裏に拡張され、反復的積分表現を用いて密度推定が得られた。
• 不規則な端末条件および源項をもつ Wasserstein 空間上での線形初期値問題は、双対性および SDE 分析からの正則性伝達を用いて、一意解をもつことが示された。
• 確率測度の完備な距離空間上での不動点議論により、追加の仮定（非退化拡散および係数の有界性）の下で、強い適切な定式化結果が得られた。