[論文レビュー] Well-posedness of nolinear fractional Schrödinger and wave equations in Sobolev spaces

Van Duong Dinh|arXiv (Cornell University)|Sep 20, 2016

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 19被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、$\mathbb{R}^d$ 上の非線形分数階シュレーディンガー方程式および波動方程式について、臨界的・準臨界的領域において局所的・大域的適切性を確立する。既存の結果を拡張し、$\gamma < d/2$ のソボレフ空間 $H^\gamma$ における適切性を証明し、$\sigma \in (0,2)\setminus\{1\}$ および $\nu > 1$ の場合にも適用可能である。また、小規模な臨界データに対する散乱を確立する。分析は、精密化されたストリカルツ推移とアトム的・ベゾフ型関数空間における固定点法に依拠する。

ABSTRACT

We prove the well-posed results in sub-critical and critical cases for the pure power-type nonlinear fractional Schrödinger equations on $\mathbb{R}^d$. These results extend the previous ones in \cite{HongSire} for $σ\geq 2$. This covers the well-known result for the Schrödinger equation $σ= 2$ given in \cite{CazenaveWeissler}. In the case $σ\in (0,2)\backslash \{1\}$, we give the local well-posedness in sub-critical case for all exponent $ν&gt; 1$ in contrast of ones in \cite{HongSire}. This also generalizes the ones of \cite{ChoHwangKwonLee} when $d = 1$ and of \cite{GuoHuo} when $d \geq 2$ where the authors considered the cubic fractional Schrödinger equation with $σ\in (1,2)$. We also give the global existence in energy space under some assumptions. We finally prove the local well-posedness in sub-critical and critical cases for the pure power-type nonlinear fractional wave equations.

研究の動機と目的

• 非線形分数階シュレーディンガー方程式および波動方程式の適切性理論を、従来の $\\sigma \geq 2$ の範囲を超えて拡張すること。
• $\sigma \in (0,2)\setminus\{1\}$ かつ $\nu > 1$ の場合に、準臨界的および臨界的ケースにおける局所的適切性を確立し、以前の結果（$d=1$ の場合 $\nu \geq 2$、$d \geq 2$ の場合 $\nu \geq 3$）を改善すること。
• 適切な仮定の下で、分数階シュレーディンガー方程式のエネルギー空間 $H^{\\sigma/2}$ における大域的解の存在および散乱を証明すること。
• これまで体系的に分析されていなかった非線形分数階波動方程式（NLFW）の研究を開始し、その局所的・大域的適切性を確立すること。

提案手法

• 関数の周波数空間における分解と、周波数帯域ごとの射影 $P_N$ を用いて、$H^\gamma$ および $\dot{H}^\gamma$ 空間における正則性を制御する。
• 分数階シュレーディンガー方程式および波動方程式の伝播作用素 $e^{\\pm it\Lambda^\sigma}$ に対して、精密化されたストリカルツ推移を適用し、特に臨界的および準臨界的領域で有効である。
• 関数のノルムが $L^p(I, L^p)$、$C(I, \dot{H}^{\gamma})$、$C^1(I, \dot{H}^{\gamma - \sigma})$ で有界である完全な距離空間 $Y$ において、固定点法を用いる。パラメータ $M$ と $N$ を慎重に選択する。
• 非線形項を制御し、反復スキームの収束を証明するために、随伴ストリカルツ推移を用いる。これにより、解の存在と一意性が保証される。
• 波動方程式に対しては、空間 $Y$ に距離を定義し、$L^\infty(I, \dot{H}^{\gamma})$ と $L^\nu(I, L^{2\nu})$ ノルムを組み合わせる。この空間上でコーシーの縮小写像定理を適用する。
• 非線形相互作用項が $L^1$-型ノルムで時間発散することを示し、$t \to \pm\infty$ のとき非線形発展がエネルギーノルムで収束することを証明することで、散乱を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非線形分数階シュレーディンガー方程式の適切性理論は、$\sigma \in (0,2)\setminus\{1\}$ かつ $\nu > 1$ の場合に、準臨界的および臨界的ケースにおいて $H^\gamma$ 空間で拡張可能か。
• RQ2 小規模な同次データを $\dot{H}^{\sigma/2}$ にとった場合、臨界的分数階シュレーディンガー方程式の大域的解の存在および散乱は、非同次データを必要としないで成立するか。
• RQ3 非線形分数階波動方程式（NLFW）は、臨界的および準臨界的領域で適切に定義されており、小規模な初期データに対して散乱が確立可能か。
• RQ4 分数階シュレーディンガー方程式の局所的適切性は、$\sigma \in (0,2)\setminus\{1\}$ および $\nu > 1$ の場合に、$\gamma < d/2$ の $H^\gamma$ 空間で証明可能か。これは、既知の $\nu \geq 2$ の要件を超えて成立するか。
• RQ5 分数階波動方程式における許容可能なストリカルツ推移の範囲は何か。また、臨界指数 $\nu = 1 + 4\sigma/(d - 2\sigma)$ とどのように関係しているか。

主な発見

• 非線形分数階シュレーディンガー方程式について、すべての $\nu > 1$ および $\sigma \in (0,2)\setminus\{1\}$ に対して、準臨界的ケースにおける局所的適切性が確立された。これは、$d=1$ の場合に $\nu \geq 2$、$d \geq 2$ の場合に $\nu \geq 3$ を要件としていた既存の結果を拡張する。
• 初期データおよび非線形項に関する適切な仮定の下で、分数階シュレーディンガー方程式のエネルギー空間 $H^{\sigma/2}$ における大域的解の存在が証明された。
• 同次データ $\dot{H}^{\sigma/2}$ に対して小規模な臨界的分数階シュレーディンガー方程式の散乱が確立された。これは、非同次データを要件としていた従来の結果を改善する。
• 非線形分数階波動方程式について、$L^\infty(I, \dot{H}^{\gamma_{\text{w}}})$ および $L^\nu(I, L^\nu)$ ノルムが有界な関数の空間における固定点法を用いて、準臨界的および臨界的領域における局所的適切性が証明された。
• 初期データが $\dot{H}^\sigma \times L^2$ に属する小規模な場合に、臨界的分数階波動方程式の散乱が確立された。これは、非線形発展が $t \to \pm\infty$ のときエネルギーノルムで収束することを示すことによって証明された。
• 臨界指数 $\nu = 1 + 4\sigma/(d - 2\sigma)$ が波動方程式に対して最適であることが示され、$(\nu, 2\nu)$ のペアがストリカルツ推移において許容可能であることが確認された。