[論文レビュー] Well-posedness of stochastic heat equation with distributional drift and skew stochastic heat equation

Siva Athreya, Oleg Butkovsky+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 26, 2020

Stochastic processes and financial applications被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、新しい確率的シーディング補題のアプローチを用いて、Besov空間 $\beta_{q,\infty}^{\beta}(\mathbb{R})$ 内の分布的ドリフトを伴う確率的熱方程式の適切性を確立する。$\beta - 1/q \geq -1$、$\beta > -1$、$q \in [1,\infty]$ の条件下で強い解の存在と一意性を証明し、ドリフトがデルタ関数（歪んだ確率的熱方程式）である場合を含む。これは[BZ14]で提起された未解決問題を解消する。本手法は、Girsanov や Zvonkin 変換に依存せず、臨界指数と確率的制御を用いた新しい確率的シーディング枠組みによるノイズ正則化に依存する。

ABSTRACT

We study stochastic reaction--diffusion equation $$ \\partial_tu_t(x)=\\frac12 \\partial^2_{xx}u_t(x)+b(u_t(x))+\\dot{W}_{t}(x), \\quad t>0,\\, x\\in D $$ where $b$ is a generalized function in the Besov space $\\mathcal{B}^\\beta_{q,\\infty}({\\mathbb R})$, $D\\subset{\\mathbb R}$ and $\\dot W$ is a space-time white noise on ${\\mathbb R}_+\ imes D$. We introduce a notion of a solution to this equation and obtain existence and uniqueness of a strong solution whenever $\\beta-1/q\\ge-1$, $\\beta>-1$ and $q\\in[1,\\infty]$. This class includes equations with $b$ being measures, in particular, $b=\\delta_0$ which corresponds to the skewed stochastic heat equation. For $\\beta-1/q > -3/2$, we obtain existence of a weak solution. Our results extend the work of Bass and Chen (2001) to the framework of stochastic partial differential equations and generalizes the results of Gy\\"ongy and Pardoux (1993) to distributional drifts. To establish these results, we exploit the regularization effect of the white noise through a new strategy based on the stochastic sewing lemma introduced in L\\^e~(2020).

研究の動機と目的

• 分布的ドリフト $b$ を持つ確率的熱方程式が、$\mathcal{B}^{\beta}_{q,\infty}(\mathbb{R})$ におけるBesov空間で適切に定義される条件を確立すること。
• Bass と Chen (2001) のSDEからの拡張として、$b$ に対する最小限の正則性仮定のもとで強い解の存在と一意性を証明すること。
• Gy€ngy と Pardoux (1993) の結果を分布的ドリフトへ一般化し、確率的制御と臨界指数を備えた新しい確率的シーディング補題を導入すること。
• ドリフト $b = \kappa \delta_0$ を持つ歪んだ確率的熱方程式の適切性に関する未解決問題を解消すること。
• Girsanov や Zvonkin 変換に依存しない、SPDEにおけるノイズによる正則化の強固な枠組みを構築すること。

提案手法

• 分布的ドリフトを伴うSPDEのための新しい解の概念を導入し、Bass と Chen (2001) のインスピレーションを受けてマルティングゲール問題の定式化に基づく。
• L\'e (2020) が提示した一般化された確率的シーディング補題を、特異性、臨界指数、確率的制御を扱えるように拡張して適用する。
• 熱核推定とBesov空間埋め込みを用いて、解とドリフトの合成の正則性を制御する。
• 条件付き期待値とガウスノイズの推定を用いて、解のモーメントとその増分の上界を求める。
• 確率的シーディング補題を用いて、ノイズパスに依存する確率的制御を構築することで、事前推定を確立する。
• 空間時間白ノイズの正則化効果を活用し、決定論的系では適切でない系を確率的設定で適切に定義可能とする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ドリフト $b \in \mathcal{B}^{\beta}_{q,\infty}(\mathbb{R})$ が、確率的熱方程式に対して一意な強い解をもたらすための条件は何か？
• RQ2 ドリフト $b = \kappa \delta_0$ を持つ歪んだ確率的熱方程式は、適切に定義可能であるか。その場合、$\kappa$ に対する正則性仮定は何か？
• RQ3 確率的シーディング補題は、SPDEにおける確率的制御と臨界指数を扱えるようにどのように拡張可能か？
• RQ4 Girsanov や Zvonkin 変換を用いないで、分布的ドリフトを伴うSPDEの適切性を証明することは可能か？
• RQ5 $\beta$ と $q$ の鋭い閾値は何か。その条件下で解は依然として適切に定義可能かつ一意となるか？

主な発見

• ドリフト $b \in \mathcal{B}^{\beta}_{q,\infty}(\mathbb{R})$ を持つ確率的熱方程式は、$\beta - 1/q \geq -1$、$\beta > -1$、$q \in [1,\infty]$ の条件下で一意な強い解をもつ。これはBass と Chen (2001) のSDEにおける結果をSPDEへ拡張するものである。
• $\beta - 1/q > -3/2$ の場合、弱解が存在し、より弱い仮定のもとでも適切性が成立する範囲が広がることを示唆する。
• ドリフト $b = \kappa \delta_0$ を持つ歪んだ確率的熱方程式は適切に定義可能であり、[BZ14]で提起された未解決問題を解消する。
• 確率的シーディング補題は、確率的制御と臨界指数を許容するように拡張され、特異なドリフトの解析を可能にする。
• Girsanov や Zvonkin 変換に依存せず、熱核とBesovノルムによるノイズ正則化に依存する手法が採用され、本SPDE設定ではこれらの変換は効果を示さない。
• ガウスノイズとBesov埋め込みを用いた条件付き期待値のモーメント推定を導出し、$\|\mathbb{E}^u f(V_t(x))\|_{L^n} \leq C \|\|f\|_{\mathcal{B}^\gamma_p}\|_{L^n} (t-u)^{\gamma/4} (u-s)^{-1/(2p)} (t-s)^{1/(4p)}$ の形の上界を得る。