[論文レビュー] Well-Posedness of the 3D Stochastic Primitive Equations with Transport Noise

Zdzisław Brzeźniak, Jakub Slavík|arXiv (Cornell University)|Aug 1, 2020

Stochastic processes and financial applications参考文献 35被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、乗法的で勾配に依存する白色ノイズによって駆動される3次元確率的原始方程式のグローバルな適切性を確立する。バロトロピックおよびバロクライニカルモードへの分解と繰り返し停止時刻のアプローチを用いて、ノイズの成長が緩やかである条件下で、一意的な最大強解の存在を証明する。これは、物理的に重要な勾配に依存する確率的駆動項を含むように、先行研究を拡張するものである。

ABSTRACT

We show that that the stochastic 3D primitive equations with either the physical boundary conditions or Neumann boundary conditions on the top and bottom and Dirichlet boundary condition on the sides driven by multiplicative gradient-dependent white noise have unique maximal strong solutions both in stochastic and PDE sense under certain assumptions on the growth of the noise. For the latter boundary conditions global existence is established using an argument based on decomposition of vertical velocity to barotropic and baroclinic modes and an iterated stopping time argument. An explicit example of non-trivial infinite dimensional noise depending on the vertical average of the horizontal gradient of horizontal velocity is presented.

研究の動機と目的

• 乗法的で勾配に依存するノイズの下で、3次元確率的原始方程式のグローバルな適切性を確立すること。
• 速度の空間勾配に依存するノイズ項を含む強解に関する既存の結果を拡張すること。
• 上部および下部に物理的境界条件およびノイマン境界条件を、側面にディリクレ境界条件を適用すること。
• 確率的および偏微分方程式の両観点から、最大強解の明示的かつ一意的な存在結果を提供すること。
• 水平速度の水平勾配の垂直平均に依存する無限次元ノイズの明示的例を提示すること。

提案手法

• 速度勾配および温度に依存する乗法的ノイズを伴う3次元確率的原始方程式を定式化する。
• 垂直速度をバロトロピックおよびバロクライニカルモードに分解することで、運動の分離と正則性の制御を実現する。
• ノイズの成長を制御する条件下で、局所解をグローバル解へと拡張する繰り返し停止時刻のアプローチを適用する。
• エネルギー推定において非線形項および確率的項を制御するため、$L^6$および$H^1$の事前推定を用いる。
• 伊藤の補題およびバーグシュタイン＝デイヴィス＝ギュンディー不等式を用いて、ヒルベルト＝シュミットノルムにおける確率積分の収束を扱う。
• 適切な関数空間におけるノイズ係数のリプシッツ連続性に依存し、パスワイズの一意性および安定性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ノイズが速度場の勾配に依存する場合に、3次元確率的原始方程式に対してグローバルな強解を確立できるか？
• RQ2 複雑な境界条件を有する原始方程式の文脈において、特に勾配に依存する乗法的ノイズ（輸送ノイズ）をどのように取り扱えるか？
• RQ3 バロトロピックおよびバロクライニカルモードへの分解が、正則性の制御および局所解のグローバルへの拡張に果たす役割は何か？
• RQ4 ノイズ係数の成長に関するどの程度の条件のもとで、グローバルな適切性が保証されるか？
• RQ5 物理的に意味のある無限次元ノイズの明示的例を、この枠組み内で構成・分析できるか？

主な発見

• 本稿は、ノイズ係数の成長が緩やかな仮定のもとで、勾配に依存するノイズを伴う3次元確率的原始方程式に対して、一意的な最大強解の存在を確立する。
• 上部および下部にノイマン境界条件、側面にディリクレ境界条件を適用した状況において、繰り返し停止時刻のアプローチを用いてグローバル存在を証明する。
• 方程式の異方的構造を管理するため、垂直速度をバロトロピックおよびバロクライニカル成分に分解する手法に依存する。
• 水平速度の水平勾配の垂直平均に依存する非自明な無限次元ノイズの明示的例を構成する。
• 先行研究は、ノイズ項が空間勾配に依存するのを禁止していたが、本稿はその制限を解除し、勾配依存性を含む。
• ノイズの勾配に対する成長が十分に小さいことが、グローバルな適切性を保証する必要があり、関連する定数について明確な制御がなされている。