[論文レビュー] Well-rounded equivariant deformation retracts of Teichmüller spaces

Lizhen Ji|arXiv (Cornell University)|Feb 4, 2013

Geometric and Algebraic Topology参考文献 12被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、正の余次元をもつ${\mathrm{Mod}}_g$-安定な部分空間$S$を定義し、$\mathcal{T}_g$から$S$への内在的かつ${\mathrm{Mod}}_g$-同変なdeformation retractの存在を示すことにより、Teichmüller空間$\mathcal{T}_g$の${\mathrm{Mod}}_g$-同変なdeformation retractを構成する。主な貢献は、十分に小さい$\varepsilon$に対して$\mathcal{T}_g(\varepsilon)$への標準的deformation retractを介して、mapping class群のproper actionのuniversal space$\underline{E}{\mathrm{Mod}}_g$のcocompactモデルを達成したことである。これは、従来の手法の限界を解消し、latticesのwell-rounded deformation retraction原理をTeichmüller空間へと拡張した。

ABSTRACT

In this paper, we construct spines, i.e., $\Mod_g$-equivariant deformation retracts, of the Teichmüller space $\T_g$ of compact Riemann surfaces of genus $g$. Specifically, we define a $\Mod_g$-stable subspace $S$ of positive codimension and construct an intrinsic $\Mod_g$-equivariant deformation retraction from $\T_g$ to $S$. As an essential part of the proof, we construct a canonical $\Mod_g$-deformation retraction of the Teichmüller space $\T_g$ to its thick part $\T_g(\varepsilon)$ when $\varepsilon$ is sufficiently small. These equivariant deformation retracts of $\T_g$ give cocompact models of the universal space $\underline{E}\Mod_g$ for proper actions of the mapping class group $\Mod_g$. These deformation retractions of $\T_g$ are motivated by the well-rounded deformation retraction of the space of lattices in $\R^n$. We also include a summary of results and difficulties of an unpublished paper of Thurston on a potential spine of the Teichmüller space.

研究の動機と目的

• Teichmüller空間$\mathcal{T}_g$の${\mathrm{Mod}}_g$-同変なdeformation retractを、cocompactかつ有限型となるように構成すること。
• 従来latticesの空間に用いられていたwell-rounded deformation retraction原理を、$g \geq 2$の双曲的曲面のTeichmüller空間へと拡張すること。
• Thurstonの未発表のアプローチに見られる失敗（流れが全空間を一様にdeformしないこと）を、非filling geodesicsの長さ勾配に基づくベクトル場を精緻化することで克服し、$\mathcal{T}_g$をwell-rounded locusの近傍へ一様にdeformする流れを構成すること。
• virtual cohomological dimensionの${\mathrm{Mod}}_g$と整合する最小次元で、cocompactかつ有限型の$\Gamma$-CW複体モデル$\underline{E}{\mathrm{Mod}}_g$を提供すること。
• 十分に小さい$\varepsilon$に対して、$\mathcal{T}_g$からその厚み部分$\mathcal{T}_g(\varepsilon)$への同変かつ適切に収束する標準的deformation retractを確立すること。

提案手法

• 短い閉じた測地線が曲面を満たすようなhyperbolic曲面の集合としてwell-rounded locus $P$を定義し、$g$にのみ依存する$B > 1$を用いて、$P_{B\varepsilon}$という近傍を構成する。
• 非fillingな単純閉測地線の集合$\Gamma$によってインデックス付けられる$\mathcal{T}_g$の被覆の各開集合上に局所的ベクトル場を構成し、$\Gamma$に属するすべての測地線の長さを増加させるようにする。
• 互いに交わらない単純閉測地線$\delta$の長さ関数$\nabla\ell(\delta)$の勾配を用いて、非fillingなsystole集合に属するすべての測地線の長さを同時に増加させる方向を定義する。
• 被覆に従属するpartition of unityを用いて、$\mathcal{T}_g$上にグローバルなベクトル場$X_\varepsilon$を構成し、$X_\varepsilon$が$P_{B\varepsilon}$上でちょうど消失し、$\mathcal{T}_g \setminus P_{B\varepsilon}$上で非ゼロであるように保証する。
• ベクトル場$X_\varepsilon$の流れが、$\mathcal{T}_g$を$P_{B\varepsilon}$へ一様にdeformすることを証明し、従来の手法でcompact部分集合はdeform可能であったが全空間は不可能であったという問題を克服する。
• $\mathcal{T}_g$から$P_{B\varepsilon}$へのdeformation retractが${\mathrm{Mod}}_g$-同変であり、$\underline{E}{\mathrm{Mod}}_g$のcocompactモデルを誘導することを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正の余次元をもつwell-roundedで${\mathrm{Mod}}_g$-安定な部分空間への、標準的かつ${\mathrm{Mod}}_g$-同変な$\mathcal{T}_g$のdeformation retractを構成することは可能か？
• RQ2 非filling geodesicsの長さ勾配に基づくベクトル場は、$\mathcal{T}_g$をwell-rounded locusの近傍へ一様にdeformする流れを生成するか？
• RQ3 Thurstonの未発表のアプローチが失敗した原因（流れが全空間を一様にdeformしないこと）は、ベクトル場および流れの構成を精緻化することで克服可能か？
• RQ4 mapping class群$\mathrm{Mod}_g$のためのcocompactかつ有限型の$\Gamma$-CW複体モデル$\underline{E}{\mathrm{Mod}}_g$を構成することは可能か？
• RQ5 十分に小さい$\varepsilon$に対する$\mathcal{T}_g$からその厚み部分$\mathcal{T}_g(\varepsilon)$へのdeformation retractは、最小次元のスパインの存在とどのように関係するか？

主な発見

• 正の余次元をもつwell-roundedで${\mathrm{Mod}}_g$-安定な部分空間$S$への、標準的かつ${\mathrm{Mod}}_g$-同変な$\mathcal{T}_g$のdeformation retractが存在し、これにより$\underline{E}{\mathrm{Mod}}_g$のcocompactモデルが得られる。
• 十分に小さい$\varepsilon > 0$に対して、$\mathcal{T}_g$からその厚み部分$\mathcal{T}_g(\varepsilon)$へのdeformation retractが、内在的かつ${\mathrm{Mod}}_g$-同変に確立される。
• Thurstonの未発表のアプローチにおける重大な欠陥（流れが全空間を一様にdeformしないこと）を、構成されたベクトル場$X_\varepsilon$の流れが$\mathcal{T}_g$全体を$P_{B\varepsilon}$の近傍へ一様にdeformすることによって克服した。
• 互いに交わらない測地線$\delta$の長さ勾配$\nabla\ell(\delta)$の使用により、非fillingなsystole集合が同時に長さが増加するように保証され、well-rounded locusへの制御されたdeformationが可能になる。
• 得られたdeformation retractは、$\mathrm{Mod}_g$-CW複体モデルとして、$\mathrm{Mod}_g$のvirtual cohomological dimensionと等しい次元の有限型モデルを提供し、最小次元であることを達成する。
• この構成により、latticesの空間におけるwell-rounded deformation retraction原理が、Teichmüller空間へと一般化され、mapping class群作用を研究するための新しい幾何的・力学的枠組みが提供される。