[論文レビュー] Wellposedness, exponential ergodicity and numerical approximation of fully super-linear McKean--Vlasov SDEs and associated particle systems

Xingyuan Chen, Gonçalo dos Reis+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 10, 2023

Stochastic processes and financial applications被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、空間および測度の両方で完全に超線形的な成長を示すドリフトおよび拡散係数（解の分布を畳み込み型カーネルで依存させる）を有するMcKean--Vlasov SDEの適切な定義、混沌の伝播、指数的エルゴード性を確立する。また、微分可能性や非退化性の仮定がなくても適用可能な、強収束速度 $1/2$ および平均二乗収縮性を有するスプリットステップEulerスキームを導入する。

ABSTRACT

We study a class of McKean--Vlasov Stochastic Differential Equations (MV-SDEs) with drifts and diffusions having super-linear growth in measure and space -- the maps have general polynomial form but also satisfy a certain monotonicity condition. The combination of the drift's super-linear growth in measure (by way of a convolution) and the super-linear growth in space and measure of the diffusion coefficient requires novel technical elements in order to obtain the main results. We establish wellposedness, propagation of chaos (PoC), and under further assumptions on the model parameters, we show an exponential ergodicity property alongside the existence of an invariant distribution. No differentiability or non-degeneracy conditions are required. Further, we present a particle system based Euler-type split-step scheme (SSM) for the simulation of this type of MV-SDEs. The scheme attains, in stepsize, the strong error rate $1/2$ in the non-path-space root-mean-square error metric and we demonstrate the property of mean-square contraction. Our results are illustrated by numerical examples including: estimation of PoC rates across dimensions, preservation of periodic phase-space, and the observation that taming appears to be not a suitable method unless strong dissipativity is present.

研究の動機と目的

• 空間および測度の両方で超線形的成長を示すMcKean--Vlasov SDEの適切な定義を確立し、畳み込み型のドリフトおよび拡散係数を含む。
• 関連する粒子系の混沌の伝播を証明し、平均場極限が有限粒子系によってよく近似されることを保証する。
• 微分可能性や非退化性を要件としない追加の散逸性仮定のもとで、指数的エルゴード性および不変分布の存在を示す。
• これらの完全に超線形的なMV-SDEをシミュレートするためのスプリットステップEuler型数値スキームを開発し、強収束速度 $1/2$ および平均二乗収縮性を有することを示す。
• 理論的結果の数値的検証を提供し、混沌の伝播速度、位相空間の保存、および強い散逸性が欠如する場合のtaming法の限界を含む。

提案手法

• 畳み込みカーネル $f$ および $f_{ ho}$ における単調性条件を用い、測度および空間における超線形的成長を制御する。
• 適切なバナッハ空間（$m>2$ の有限 $m$-次モーメントを持つ過程の空間）における固定点議論と事前モーメント推定を用いて、適切な定義を確立する。
• SDE解の分布と粒子系の経験測度との間のウォッサーシュタイン距離を評価することで、混沌の伝播を証明する。
• ドリフトおよび拡散係数に追加の散逸性条件を課したもとで、リャプノフ型の議論により指数的エルゴード性を導出する。
• ドリフトと拡散の更新を分離することで、超線形的成長に対応できるスプリットステップEulerスキームを提案し、離散イト型推定を用いて安定性および収束性を分析する。
• 拡散係数が退化していても、スキームが時間ステップごとに解の期待二乗距離を減少させることを示すことで、平均二乗収縮性を証明する。

(a) Density with $X_{0}\sim\mathcal{N}(0,1)$

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 空間および測度の両方で完全に超線形的成長を示すドリフトおよび拡散係数を有するMcKean--Vlasov SDEが、一意的な強い解をもつための条件は何か？
• RQ2 粒子系近似は平均場極限にどのように収束するか？混沌の伝播速度は何か？
• RQ3 非退化性や係数の微分可能性を要件としない場合、このようなSDEに対して指数的エルゴード性を確立できるか？
• RQ4 どのような数値スキームが、完全に超線形的なこれらのMV-SDEに対して強収束速度 $1/2$ および平均二乗収縮性を満たすか？
• RQ5 tamingはこのようなSDEに対して適切な手法か？それとも、安定性のためには強い散逸性仮定が不可欠か？

主な発見

• 畳み込み型カーネルによる依存を有する超線形的ドリフトおよび拡散係数を有するMV-SDEに対して、弱い単調性および成長条件のもとで適切な定義が確立される。
• 次元および粒子数に依存するレートで混沌の伝播が成立し、異なる次元において数値的に検証される。
• 追加の散逸性仮定のもとで指数的エルゴード性が証明され、一意な不変分布の存在および幾何的収束性が示される。
• 提案されたスプリットステップEulerスキームは、経路空間におけるルート平均二乗誤差尺度で強収束速度 $1/2$ を達成する。
• スキームは平均二乗収縮性を示し、拡散係数が退化していても時間ステップにわたる安定性が保証される。
• 数値実験により、強い散逸性が存在しない限りtamingは効果を示さないことが示され、数値的安定性のためには構造的仮定が不可欠であることが強調される。

(b) Strong error (rMSE)