[論文レビュー] Welschinger invariants of toric Del Pezzo surfaces with non-standard real structures

Eugeniĭ Shustin|ArXiv.org|May 27, 2006

Polynomial and algebraic computation参考文献 21被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、tropical列挙幾何学を用いて、4つの非標準的実トーリックデル・ペッツォ表面—${\mathbb{S}}^2$, ${\mathbb{S}}^2_{1,0}$, ${\mathbb{S}}^2_{2,0}$, および ${\mathbb{S}}^2_{0,2}$—のWelschinger不変量に対するトロピカルな公式を確立する。不変量は、トロピカル曲線に関連する組合せ的対象の重み付き和として計算され、完全に実な配置に対して正であること、および与えられた線形系統内に実有理曲線が存在することを示す。

ABSTRACT

The Welschinger invariants of real rational algebraic surfaces are natural analogues of the Gromov-Witten invariants, and they estimate from below the number of real rational curves passing through prescribed configurations of points. We establish a tropical formula for the Welschinger invariants of four toric Del Pezzo surfaces, equipped with a non-standard real structure. Such a formula for real toric Del Pezzo surfaces with a standard real structure (i.e., naturally compatible with the toric structure) was established by Mikhalkin and the author. As a consequence we prove that, for any real ample divisor $D$ on a surfaces $Σ$ under consideration, through any generic configuration of $c_1(Σ)D-1$ generic real points there passes a real rational curve belonging to the linear system $|D|$.

研究の動機と目的

• 非標準的実トーリックデル・ペッツォ表面のWelschinger不変量を計算すること。これらは自然にはトーリック構造と整合しない。
• 従来既知であった標準的実トーリックデル・ペッツォ表面を超えて、tropical列挙幾何学の技法を拡張すること。
• Welschinger不変量をトロピカル曲線および変形パターンに関連する組合せ的対象の重み付き和として表す組合せ的公式を確立すること。
• 一般な実または共役虚数点の配置を通じて、与えられた線形系統内に実有理曲線が存在することを証明すること。
• 完全に実な配置に対してWelschinger不変量が正であること、すなわち指定された線形系統内に実有理曲線が存在することを示すこと。

提案手法

• Welschinger不変量を、トロピカル曲線に関連する組合せ的対象の重み付き和として表現するため、tropical列挙幾何学を用いる。
• 極限曲線を区別するために変形パターンを適用し、成分の重みとノードの偶奇に基づいて実曲線と共役対に分類する。
• パラメータの値関数および初期条件を用いて点条件を課し、横断性および実有理曲線の存在を保証する。
• 偶数重みの成分（実点に対応）は符号が逆のペアで寄与するため、不変量内で相殺されることを示す。
• 実点に対応する奇数重みの成分については、すべての変形パターンの選択において、孤立ノードの偶奇が一貫した符号を持つことを保証する。
• 曲線がパラメータに滑らかに依存すること、および点条件の横断性が保証されることを、[17]および[18]の結果に依拠する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非標準的実トーリックデル・ペッツォ表面に対して、tropical幾何学を用いてWelschinger不変量を計算できるか？
• RQ2 これらの表面における実有理曲線に対応するトロピカル曲線の組合せ的構造は何か？
• RQ3 変形パターンおよびノードの偶奇は、非標準的実構造におけるWelschinger不変量の符号にどのように影響するか？
• RQ4 Welschinger不変量が正のままである条件は何か？これは実有理曲線の存在に何を示唆するか？
• RQ5 これらの表面において、Welschinger不変量はGromov-Witten不変量と同等の漸近的挙動を示すか？

主な発見

• 任意の実アーマー線形系統 $\mathcal{L}$ に対して、${\mathbb{S}}^2$, ${\mathbb{S}}^2_{1,0}$, ${\mathbb{S}}^2_{2,0}$, または ${\mathbb{S}}^2_{0,2}$ 上のWelschinger不変量は、組合せ的対象の重み付き和を含むトロピカルな公式で与えられる。
• $c_1(\Sigma)D - 1$ 個の完全に実な点の配置に対して、Welschinger不変量は正であり、$|D|$ 内に少なくとも1本の実有理曲線が存在することを示唆する。
• すべての実点に対応する成分が奇数重みである場合、寄与する実有理曲線の数は $\prod_{j=1}^{r''_1} (w(G'_j))^2$ に等しく、すべて同じ符号（ノードの偶奇に依存）を持つ。
• 実点に対応する偶数重みの成分は、符号が逆のペアとなる変形パターンによって不変量内で相殺される。
• Welschinger不変量の対数の漸近的成長率は、Gromov-Witten不変量と一致し、$\lim_{n\to\infty} \frac{\log W_0(\Sigma, \mathcal{L}^{\otimes n})}{n\log n} = -c_1(\mathcal{L})K_\Sigma$ を満たす。
• Welschingerの不変性定理により、一般な配置の選択に依存しないことが確認され、tropical手法によって裏付けられる。