[論文レビュー] Wentzel-Freidlin estimates for jump processes in semi-group theory: upper bound

Rémi Léandre|arXiv (Cornell University)|May 26, 2010

Advanced Operator Algebra Research参考文献 1被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、半群理論を用いて、ジャンプ過程の文脈におけるWentzel-Freidlin推定値の上界を確立する。確率解析における大偏差原理を、Feller生成子とハミルトニアン-ヤコビ-ベルマン方程式の枠組みに翻訳する。主な結果は、ジャンプ過程の遷移確率の対数減衰率が、生成子の記号のLegendre変換によって定義される時間積分作用関数の下界によって上から抑えられることを示している。

ABSTRACT

We give a translation in semi-group theory of Wentzel-Freidlin estimates for Poisson process. We consider the case of the upper bound.

研究の動機と目的

• 半群理論的アプローチを用いて、ジャンプ過程へのWentzel-Freidlin大偏差理論の拡張を図ること。
• ジャンプ強度が0に近づく際のジャンプ過程における遷移確率の対数減衰率の上界を導出すること。
• ジャンプ過程の生成子と関連するハミルトニアン-ヤコビ-ベルマン方程式との間のLegendre双対性の関係を確立すること。
• ポisson駆動過程のための確率解析における指数マーティンゲール技法を、半群理論的枠組みに翻訳すること。

提案手法

• Lévy測度 $ \mu(x,dz) $ に関連する時間スケーリングされた生成子 $ L^h $ を導入し、ジャンプダイナミクスをモデル化する。
• ハミルトニアン $ H(x,\xi) $ を、Lévy測度に関して $ \exp[\langle z,\xi \rangle] - 1 - \langle z,\xi \rangle $ の積分として定義する。
• 生成子の記号のLegendre変換 $ L(x,\alpha) $ を用いて、作用関数 $ S(\phi) = \int_0^1 L(\phi(t), \dot\phi(t)) dt $ を定義し、これが大偏差率を支配する。
• 指数マーティンゲールをモデル化するため、$ \mathbb{R}^d \times \mathbb{R} $ 上に修正生成子 $ \overline{L}^h $ を構成し、$ \overline{L}^h \exp[\langle C,x \rangle - y] = 0 $ を満たすようにする。
• 半群表現とHölderの不等式を用いて遷移確率の成長を制御し、Gronwallの補題を用いて指数モーメントをバインドする。
• 多角形パスを用いて経路空間を離散化し、区分的線形制御による作用関数の近似を行う。Legendre変換を用いて真の作用関数からの逸脱をバインドする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ジャンプ過程におけるWentzel-Freidlin推定値は、どのように半群理論の言語に再定式化できるか？
• RQ2 ジャンプ強度 $ h \to 0 $ のとき、ジャンプ過程における遷移確率の対数減衰率の上界は何か？
• RQ3 ハミルトニアンのLegendre変換は、ジャンプ過程のための大偏差率関数とどのように関係するか？
• RQ4 確率解析における指数マーティンゲール技法は、純粋なジャンプ過程のための半群フレームワークに適応可能か？
• RQ5 大偏差率関数の存在性と正則性を保証するためのLévy測度および生成子に関する条件は何か？

主な発見

• 遷移確率の対数減衰の上界は、$ \overline{\lim}_{h \to 0} h \log P_1^h[1_O](x) \leq -\inf_{y \in O} l(x,y) $ で与えられ、ここで $ l(x,y) $ は $ x $ から $ y $ への経路全体における作用関数の下界である。
• 仮定のもとで作用関数 $ S(\phi) = \int_0^1 L(\phi(t), \dot\phi(t)) dt $ は有限かつ連続であり、良好に定義された率関数の存在を保証する。
• Legendre変換 $ L(x,\alpha) $ は $ \alpha $ に関して一様凸であり、有界な $ \alpha $ に対してヘッセ行列が $ mI_d $ で下から押さえられるため、率関数の正則性が保証される。
• 証明により、最適経路から逸脱する経路の確率は指数的に速く減少し、その減衰率は作用関数によって制御される。
• 修正生成子 $ \overline{L}^h $ と指数マーティンゲール構造の使用により、半群ノルムの制御が可能となり、Gronwallの不等式を用いて $ h $ に一様なバインドが得られる。
• 結果は最小限の正則性仮定のもとで成立する：$ z \neq 0 $ に対してLévy密度 $ g(x,z) $ の連続性、およびLévy測度の2次の絶対モーメントの一様有界性。