[論文レビュー] Weyl asymptotics of the transmission eigenvalues for a constant index of refraction

Ha Pham, Plamen Stefanov|arXiv (Cornell University)|Sep 14, 2013

Numerical methods in inverse problems参考文献 19被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、一定の屈折率を有する球体における実および複素内部伝送固有値（ITEs）の数関数について、Weyl型の漸近公式を確立する。球面調和関数の分解とベッセル関数の解析を用いて、実ITEsについては $ \frac{\omega_n}{(2\pi)^n} r^n \int_\Omega |1 - m^{n/2}| \, dx $ が、複素ITEsについては類似の公式が成り立つことが証明され、回転対称で屈折率が一定の状況下で期待されるWeyl法則の振る舞いが確認された。

ABSTRACT

We prove Weyl type of asymptotic formulas for the real and the complex internal transmission eigenvalues when the domain is a ball and the index of refraction is constant.

研究の動機と目的

• 最も単純な非自明な設定、すなわち一定屈折率の球体における内部伝送固有値（ITEs）の数関数の精密な漸近公式を導出すること。
• 長年の未解決問題である、この対称的状況下でWeyl法則が実および複素ITEsの分布を支配するかどうかを解明すること。
• 球面調和関数分解における散乱行列およびベッセル関数の零点の解析を通じて、ITEsの漸近的成長率を確立すること。
• 内部伝送固有値と全空間における伝送固有値の違いを明確にし、すべてのITEsがTEsであるとは限らないことを示すこと。

提案手法

• 変数分離を用いて内部伝送問題を球面調和モードに分解し、径方向変数に関する常微分方程式に帰着する。
• 球面調和基底における散乱行列を解析し、その対角成分をベッセル関数 $ j_\nu $ およびハンケル関数 $ h_\nu^{(1,2)} $ で表現する。
• 散乱行列の行列式から導かれる関数 $ F_\nu(\lambda) $ の零点として伝送固有値を特定し、屈折率 $ m = \gamma^2 $ に依存する。
• 伝送固有値に対応する零点を有する相対散乱断面積 $ A_l(\lambda) = S_l(\lambda) - 1 $ を用い、幾何的重複度を球面調和空間の次元と関連付ける。
• 微局所的および半古典的解析の技術を適用して固有値の分布を制御し、数関数の上界および下界を導出する。
• 実ITEsの数関数 $ N(r) $ がWeyl型漸近的性質 $ N(r) \sim \frac{\omega_n}{(2\pi)^n} r^n \int_\Omega |1 - m^{n/2}| \, dx $ を満たすことを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 領域が球体で屈折率が一定である場合、実内部伝送固有値のWeyl法則が漸近的分布を支配するか？
• RQ2 同じ条件下で、複素平面内の領域 $ |\arg \lambda| \leq \theta $ における複素内部伝送固有値の数の正確な漸近的成長率は何か？
• RQ3 ITEsの幾何的および代数的重複度は、散乱行列および球面調和関数分解の構造とどのように関係するか？
• RQ4 ベッセル関数の零点を用いて、ITEsの数関数を屈折率および領域体積の関数として表現できるか？
• RQ5 すべての内部伝送固有値が全空間における伝送固有値であるとは限らないのか、それとも別個のものであるか？

主な発見

• 実内部伝送固有値の数関数 $ N(r) $ はWeyl漸近的性質 $ N(r) \sim \frac{\omega_n}{(2\pi)^n} r^n \int_\Omega |1 - m^{n/2}| \, dx $ を満たし、期待されるWeyl法則の振る舞いが確認された。
• 領域 $ |\arg \lambda| \leq \theta $ 内の複素内部伝送固有値の数関数 $ N(\theta, r) $ は、$ N(\theta, r) \leq \frac{\omega_n}{(2\pi)^n} r^{n/2} \int_\Omega (1 + m^{n/2}) \, dx + O(r^{n-1-\epsilon}/2) $ を満たし、既知の鋭い境界と一致する。
• 各ITE $ \lambda $ の幾何的重複度は、散乱行列 $ A(\lambda) $ の核の次元に等しく、これは有限であり、球面調和モード $ l $ に依存する。
• 本稿では、ITEが存在するが全空間における伝送固有値ではない例を構成し、ITEsが常にTEsであるとは限らないことを示した。
• 実ITEsの漸近的公式は鋭く、LakshtanovとVainbergが以前に確立した下界と一致し、正しいべき乗則および係数が確認された。
• 解析により、$ A^{-1}(\lambda) $ のローラン展開から生じるITE $ \lambda_0 $ の代数的重複度は、高々 $ \mu(l) $、すなわち次数 $ l $ の球面調和空間の次元以下であることが確認された。