[論文レビュー] Weyl function of a Hermitian operator and its connection with characteristic function

Vladimir Derkach, M. M. Malamud|arXiv (Cornell University)|Mar 31, 2015

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 5被引用数 13

ひとこと要約

本稿では、抽象的境界三つ組と第二グリーンの公式を用いて、エルミート作用素の特性作用素関数に対する新しいアプローチを提案し、ウェイル関数と特性関数の直接的な関係を確立する。主な貢献は、ウェイル関数がクレインとランガーの意味での$Q$-関数であり、ほとんど可解な拡大のスペクトル特性を一意に決定することを証明することにある。微分作用素および特異境界を有する領域におけるラプラシアンに対して、明示的な公式が導出されている。

ABSTRACT

Let $A$ be a densely defined symmetric operator with equal deficiency indices in a Hilbert space. We introduce the notion of a Weyl function $M(z)$ of $A$ corresponding to an ordinary boundary triplet of the operator $A^*$ and then investigate its basic properties. In particular, a connection with Krein-Langer Q-functions and Krein's type formula for resolvents is discovered. Using this new connection, we show that the resolvent comparability of two proper extensions is equivalent to that of the corresponding boundary operators. Moreover, we show that the number of negative eigenvalues of a self-adjoint extension $A_B=A_B^*$ of a non-negative operator $A$ equals the number of negative eigenvalues of $B-M(0-)$, where $B$ is the boundary operator of $A_B$ and $M(0-)$ is the left limit of the Weyl function at zero. Also, we introduce the class of almost solvable extensions of $A$. A characteristic function (in the sense of A. V. Shtraus) of an almost solvable extension is expressed by means of the Weyl function and the corresponding boundary operator. Analytic properties of characteristic functions are completely characterized. The main results are applied to ordinary differential operators, Sturm-Liouville operators with unbounded operator potentials, Shrödinger operators and Laplacians on domains with a non-smooth boundary. These results were substantially elaborated and published later in the following papers: 1. V.A. Derkach and M.M. Malamud, Generalized resolvents and the boundary value problems for Hermitian operators with gaps, J. Funct. Anal. 95 (1991), 1-95. 2. --- Characteristic functions of almost solvable extensions of a Hermitian operators, Ukr. Mat. Zh. 44 (1992), 435-459. 3. --- The extension theory of Hermitian operators and the moment problem, J. Math. Sci. 73 (1995), 141-242.

研究の動機と目的

• 対称作用素の特性作用素関数の新たな、より自然な枠組みを、抽象的境界三つ組を用いて構築すること。
• ウェイル関数が$Q$-関数として果たす役割と、ほとんど可解な拡大のスペクトル的決定の仕組みを明確化すること。
• さまざまな微分作用素にわたるウェイル関数と特性関数の統一的関係を確立すること。
• 特異境界を有する領域、例えば入射角や特異ポテンシャルを有する領域において、ウェイル関数と特性関数の明示的表現を提供すること。

提案手法

• 対称作用素$A^*$の共役作用素に対して、抽象的グリーン恒等式と全射性を満たす境界三つ組$\{\mathcal{H}, \Gamma_0, \Gamma_1\}$の概念を導入する。
• $f_z \in \mathfrak{N}_z$に対して$M(z)\Gamma_0 f_z = \Gamma_1 f_z$によりウェイル関数$M(z)$を定義し、それが正則でかつ$R_\mathcal{H}$類に属することを示す。
• ウェイル関数$M(z)$がクレインとランガーの意味での$Q$-関数であることを確立し、$A$が単純である場合、$\{A, A_0\}$の対がユニタリ同値を除いて一意に決定されることを示す。
• 抽象的第二グリーンの公式を用いてウェイル関数を定義し、正則性や虚部の正定性を含むその性質を導出する。
• 有界または無限大の係数を有する微分作用素、および境界が区分的滑らかまたは特異な領域におけるシュレーディンガー作用素やラプラシアンにこの枠組みを適用する。
• 特定の例、例えば楔領域におけるラプラシアンに対して$M(z) = C_\beta z^\beta$となるように、ウェイル関数と特性関数の明示的表現を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 境界三つ組と抽象的第二グリーンの公式を用いて、特性作用素関数を再定式化することで、より自然で一般性の高い枠組みをどのように得られるか？
• RQ2 ほとんど可解な拡大のウェイル関数$M(z)$と特性関数$\Theta(z)$の間の明確な関係は何か？
• RQ3 ウェイル関数$M(z)$がステイルチェス類に属する条件は何か？ また、これは負のスペクトルの有限性とどのように関係するか？
• RQ4 特異係数や特異幾何構造（角やカスプ）を有する領域における微分作用素に対して、ウェイル関数をどのように明示的に計算できるか？
• RQ5 特にフレドリッヒス拡大とクレイン拡大の観点から、自己共役拡大のスペクトル的特徴付けはウェイル関数によってどのように記述できるか？

主な発見

• ウェイル関数$M(z)$はクレインとランガーの意味での$Q$-関数であり、$R_\mathcal{H}$類に属し、$A$が単純である場合、$\{A, A_0\}$の対がユニタリ同値を除いて一意に決定される。
• 角度$\pi/\beta$の楔領域におけるラプラシアンに対して、ウェイル関数は明示的に$M(z) = C_\beta z^\beta$で与えられ、ここで$C_\beta = \exp(-i\beta\pi)4^{-\beta}\Gamma(1-\beta)/\Gamma(1+\beta)$である。
• 境界条件$\ker(\Gamma_1 - C_\beta h \Gamma_0)$を有する拡大$L_h$の特性関数は$\Theta(z) = \frac{z^\beta + h}{z^\beta + \bar{h}}$で与えられ、スペクトルパラメータと境界条件が結びつけられる。
• フレドリッヒス拡大は$\ker\Gamma_0$に対応し、クレイン拡大は$\ker\Gamma_1$に対応する。$M(0) = 0$により、後者がある意味で適切に定義されることを保証する。
• 非負作用素に対して、$M(z)$がステイルチェス類$(S)$に属するための基準が確立され、正定性と単調性がスペクトル特性と関連づけられる。
• 半直線上の最小微分作用素（$2n$階）のケースにおいて、ウェイル関数$M(z)$はある自己共役拡大の特性行列と一致し、古典的結果を一般化する。