[論文レビュー] Weyl, Fusion and Demazure modules for the current algebra of sl_{r+1}

Vyjayanthi Chari, S. Loktev|ArXiv.org|Feb 8, 2005

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 14被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、$\mathfrak{sl}‑_{r+1}$ のカレント代数のウェイル加群に対して、ポincare‑バーキホフ‑ワイト型基底を構成し、[CP1]における次元予想を証明するとともに、ウェイル加群、融合加群、デマール加群の間の同型を確立する。さらに、融合加群の順序付き特徴がコスタ多項式と一致することを検証し、[FL]における重要な予想を確認する。

ABSTRACT

We construct a Poincare-Birkhoff-Witt type basis for the Weyl modules of the current algebra of $sl_{r+1}$. As a corollary we prove a conjecture made by Chari and Pressley on the dimension of the Weyl modules in this case. Further, we relate the Weyl modules to the fusion modules of the current algebra defined by Feigin and Loktev, and to the Demazure modules in level one representations of the corresponding affine algebra. In particular, this allows us to establish substantial cases of the conjectures of Feigin and Loktev on the structure and graded character of the fusion modules.

研究の動機と目的

• カレント代数の$\mathfrak{sl}‑_{r+1}$ のウェイル加群の次元予想を、$\mathfrak{sl}‑_2 を超えて未解決であった状態で証明すること。
• アフィン代数のレベル1表現におけるウェイル加群、融合加群、デマール加群の間の同型を確立すること。
• 融合加群の順序付き特徴式の公式がコスタ多項式で与えられることを検証すること。
• ウェイル加群に対して、ポincare‑バーキホフ‑ワイト型基底を提供し、次元と特徴の明示的計算を可能にすること。
• デマール加群の$\mathfrak{sl}‑_{r+1}$-加群構造をアフィンリー代数加群構造に拡張し、[FoL]におけるより広範な予想を支持すること。

提案手法

• ウェイル加群にGelfand-Tsetlin型のフィルトレーションを構成し、$r$ に関する帰納法によって関連する順序付き空間を分析する。
• ウェイル加群の基底要素をパラメトライズするために、$\mathbf{U}(\mathfrak{n}^{-}[t])$ のPoincaré-Birkhoff-Witt基底を用いる。
• インデックス集合$({\underline{\ell}},{\underline{{\mathbf{s}}}})$ 上の組み合わせ的順序$\triangleright$ および $\blacktriangleright$ を用いて、フィルトレーションの段階を制御する。
• デマール加群の特徴に関する[KMOTU]および[M]の結果を用い、ウェイル加群の特徴と比較する。
• 基本的表現における融合加群が点の位置に依存しないことを利用し、ウェイル加群と同型であることを示す。
• 基底とフィルトレーション構造を用いて、融合加群の順序付き特徴がコスタ多項式に等しいことを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 カレント代数の$\mathfrak{sl}‑_{r+1}$ のウェイル加群の次元は、[CP1]で予想されたように、コスタ数の積に等しいか？
• RQ2 $\mathfrak{sl}‑_{r+1}$ の基本的表現における融合加群は、点の選択に依存せず、ウェイル加群と同型であるか？
• RQ3 カレント代数の$\mathfrak{sl}‑_{r+1}$ のウェイル加群は、アフィン代数$\widehat{\mathfrak{sl}}_{r+1}$ のレベル1可解表現におけるデマール加群と一致するか？
• RQ4 融合加群の順序付き特徴は、[FL]で予想されたように、コスタ多項式の和として表せるか？
• RQ5 デマール加群の$\mathfrak{sl}‑_{r+1}$-加群構造は、[FoL]で示唆されたように、完全なアフィンリー代数加群構造に拡張できるか？

主な発見

• カレント代数の$\mathfrak{sl}‑_{r+1}$ のウェイル加群$W(\lambda)$ の次元は、コスタ多項式の積で与えられ、[CP1]および[CP2]における予想を確認する。
• ウェイル加群$W(\lambda)$ は、$\mathfrak{sl}‑_{r+1}$ の基本的表現から構成された融合加群と同型であり、点の選択に依存しないことを証明する。
• ウェイル加群$W(\lambda)$ は、アフィン代数$\widehat{\mathfrak{sl}}_{r+1}$ のレベル1可解表現におけるデマール加群と同型である。
• 融合加群の順序付き特徴は、コスタ多項式の和に等しく、[FL]における予想が$\mathfrak{sl}‑_{r+1}$ に対して確認される。
• 関連する順序付き加群$\mathrm{gr} W(\lambda)$ は、$\mathfrak{sl}_r$ のウェイル加群の直和と同型であり、Gelfand-Tsetlinフィルトレーション構造を検証する。
• デマール加群の$\mathfrak{sl}‑_{r+1}$-加群構造は、完全なアフィンリー代数加群構造に拡張され、[FoL]における予想を支持する。