[論文レビュー] Weyl Geometries and Timelike Geodesics

L. Fatibene, M. Francaviglia|arXiv (Cornell University)|Jun 10, 2011

Advanced Differential Geometry Research参考文献 5被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、任意のローレンツ的時空におけるグローバルな類時的ベクトル場が、その場がWeyl接続Γに関して測地的となるようなWeyl幾何学([g], Γ)を一意に定めることが確立されている。主な結果は、観測可能な流体の流れの線からWeyl幾何学を構成的・明示的に導出するメカニズムを提供することであり、接続ΓがLevi-Civita接続からどれほど逸脱しているかを記述する共変ベクトルAを用いることで、標準一般相対性理論を超えた重力場の幾何的記述が可能になる。

ABSTRACT

In view of Ehlers-Pirani-Schild formalism, since 1972 Weyl geometries should be considered to be the most appropriate and complete framework to represent (relativistic) gravitational fields. We shall here show that in any given Lorentzian spacetime (M,g) that admits global timelike vector fields any such vector field u determines an essentially unique Weyl geometry ([g], Γ) such that u is Γ-geodesic (i.e. parallel with respect to Γ).

研究の動機と目的

• 相対論的理論における観測可能な流体の流れの線と重力場の幾何学的構造を結ぶ幾何的枠組みを確立すること。
• 標準一般相対性理論の剛性を解消し、類時的共形（congruence）がLevi-Civita接続ではなくWeyl接続Γを定義可能であることを示すこと。
• 物理的共形（congruence）である類時的曲線の族（例：流体の世界線）からWeyl幾何学([g], Γ)を構成するメカニズムを提供すること。
• Weyl幾何学が測地的流体の流れと整合することを示すことで、特にf(R)理論における修正重力モデルへの応用を支援すること。

提案手法

• 与えられた共形構造([g])と[g]-類時的ベクトル場uに対して、uがΓ-測地的となるような捩れのない接続Γを一意に構成する。
• 接続Γは代表的計量gのLevi-Civita接続{g}と共変ベクトルAを用いて、式: Γαβμ = {g}αβμ + (gαϵgβμ − 2δα(βδϵμ))Aϵ で得られる。
• この構成は、共形構造[g]と射影構造[Γ]の整合性を保ち、Ehlers-Pirani-Schild (EPS)公理を満たす。
• この方法は共形不変性を有する：gを˜g = Ω²gにスケーリングすると、AとΓが変換されてもWeyl幾何学の構造は保存される。
• この形式的枠組みは宇宙論的モデルに適用され、Friedmann-Robertson-Walker時空では、非ゼロの圧力を持つ場合でも時間的ベクトル場∂tが依然として測地的であることが示された。
• 本稿では、Weyl幾何学におけるエネルギー運動量テンソルの保存則が、接続の選択に注意を要することを示しており、f(R)モデルにおいてΓが物理的に重要な接続であることが明確になった。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 固定された共形構造[g]のもとで、時空内の任意の類時的共形（congruence）が、Weyl接続Γに関する測地的共形（congruence）として実現可能か？
• RQ2 類時的ベクトル場uが与えられたとき、Weyl接続Γはどのように一意に定まり、代表的計量gのLevi-Civita接続とどのような関係にあるか？
• RQ3 非ゼロの圧力を有する流体が、Weyl幾何学においても測地的共形（congruence）として記述可能となる条件は何か？
• RQ4 計量の共形スケーリングがWeyl接続と関連する共変ベクトルAに与える影響は何か？
• RQ5 f(R)重力モデルにおいて、Weyl幾何学の枠組みが、自由落下軌道を記述する動的な場としての接続Γの物理的解釈をどのように支援するか？

主な発見

• 任意のローレンツ的時空(M, g)におけるグローバルに定義された[g]-類時的ベクトル場uに対して、uがΓ-測地的となるような一意なWeyl幾何学([g], Γ)が存在する。
• Weyl接続Γは、Levi-Civita接続{g}と共変ベクトルAを用いて、式 Γαβμ = {g}αβμ + (gαϵgβμ − 2δα(βδϵμ))Aϵ で明示的に構成される。
• この構成は共形不変性を有する：g → Ω²g の変換に対して、共変ベクトルAは A → A − d ln Ω と変換され、Weyl幾何学の構造は保存される。
• Friedmann-Robertson-Walker宇宙論において、計量の対称性のおかげで、圧力p ≠ 0 であっても時間的ベクトル場∂tがWeyl接続Γに関して測地的である。
• エネルギー運動量テンソルの保存則は、測地的nに対して∇μp(gμν + nμnν) = 0 が成り立つ必要があるが、これは宇宙論的モデルで満たされる特別な条件下でのみ成立する。
• Weyl幾何学の枠組みは、f(R)重力において自然な設定を提供する。ここで接続Γは計量的であり、自動的にEPS形式主義と整合する。これにより、Γは自由落下運動を記述するのに対し、{g}は運動論的基準として機能する。