[論文レビュー] Weyl Group Invariants and Application to Spherical Harmonic Analysis on Symmetric Spaces

Joseph A. Wolf, Wolf, Joseph A.|ArXiv.org|Jan 29, 2009

Algebraic and Geometric Analysis参考文献 18被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、古典的リー群におけるより大きな対称空間からより小さな対称空間へのWeyl群不変多項式の制限写像が全射となる条件を確立する。特に、より大きな代数がより小さな代数の延長である場合に注目する。主な結果は、正則関数の$G_\infty$-不変なヒルベルト空間完備化を介して、有限次元のPaley–Wiener定理をコンパクト対称空間の無限次元直和極限へ拡張することに寄与する。

ABSTRACT

Polynomial invariants are fundamental objects in analysis on Lie groups and symmetric spaces. Invariant differential operators on symmetric spaces are described by Weyl group invariant polynomial. In this article we give a simple criterion that ensure that the restriction of invariant polynomials to subspaces is surjective. We apply our criterion to problems in Fourier analysis on projective/injective limits, specifically to theorems of Paley--Wiener type.

研究の動機と目的

• より大きな対称空間からより小さな対称空間へのWeyl群不変多項式の制限写像が全射となる条件を確立すること。
• 有限次元のPaley–Wiener定理をコンパクト対称空間の無限次元直和極限へ拡張すること。
• 直接極限空間$M_\infty$上の正則関数の$G_\infty$-不変なヒルベルト空間完備化を構成すること。
• 直接系における球関数と部分等長写像の不一致を解消するために、関数空間の構造を新たな前ヒルベルト空間構造へ再定義すること。
• 延長関係によって関連付けられた対称空間の直接系において、包含半径が一定であることを示し、Paley–Wiener定理における一様な台条件を可能にすること。

提案手法

• ディンキン図の拡張により、リー代数$\mathfrak{g}_k$が$\mathfrak{g}_n$の延長であることを定義し、同じ根系型を持ち、ランクが左端でのみ増加することを保証する。
• 型$D$代数に対して奇数の符号変更を含む拡張Weyl群$\widetilde{W}(\mathfrak{g},\mathfrak{h})$を定義し、制限写像と整合性を持つようにする。
• 古典的ケースにおいて、$\widetilde{W}(\mathfrak{g}_k,\mathfrak{h}_k)$-不変多項式が$\widetilde{W}(\mathfrak{g}_n,\mathfrak{h}_n)$-不変多項式に全射的に制限されることを証明する。
• ユニタリ性を保つようにスケーリングを施した$G_n$-不変部分等長写像を用いて、ヒルベルト空間の直接系$\{L^2(M_n), L_{m,n}\}$を構成する。
• 直接系写像と可換な写像$\eta_{n,\mu}$を用いて、正則関数の直接極限$\mathcal{A}(M_\infty)$上に新たな前ヒルベルト空間構造を定義する。
• 像が稠密である$G_\infty$-不変等長埋め込み$\widetilde{\eta}: \mathcal{A}(M_\infty) \to L^2(M_\infty)$を確立し、$\mathcal{A}(M_\infty)$を$L^2(M_\infty)$にヒルベルト空間として完備化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リー代数$\mathfrak{g}_k$が$\mathfrak{g}_n$の延長であるとき、$\mathfrak{h}_k$から$\mathfrak{h}_n$への$W$-不変多項式の制限写像が全射となる条件は何か？
• RQ2 有限次元コンパクト対称空間から無限次元直和極限へのPaley–Wiener定理の拡張はどのように可能か？
• RQ3 標準的な部分等長写像$L_{m,n}$はなぜ球関数を保存しないのか？また、この問題はどのように是正できるか？
• RQ4 拡張Weyl群$\widetilde{W}(\mathfrak{g},\mathfrak{h})$は、延長に伴う不変量の整合性を保証するために果たす役割は何か？
• RQ5 延長によって関連付けられた対称空間の直接系において、包含半径はどのように振る舞い、フーリエ解析における台条件にどのような意味を持つのか？

主な発見

• 古典的リー代数において、$\mathfrak{g}_k$が$\mathfrak{g}_n$の延長であるならば、$\widetilde{W}(\mathfrak{g}_k,\mathfrak{h}_k)$-不変多項式は$\widetilde{W}(\mathfrak{g}_n,\mathfrak{h}_n)$-不変多項式に全射的に制限されるが、型$D$では拡張Weyl群が必須である。
• 延長によって関連するコンパクト対称空間の直接系において、包含半径は一定であり、Paley–Wiener定理における一様な台サイズ条件の実現を可能にする。
• 球関数$\psi_{I,n}$は標準的な部分等長写像$L_{m,n}$を介して前方に写されない。これは、$L_{m,n}(\psi_{I,n}) \neq \psi_{I,m}$であるためであり、スケーリングと$K_n$-不変性の喪失が原因である。
• 直接系$\{L^2(M_n), L_{m,n}\}$と直接系$\{\mathcal{A}(M_n), \nu_{m,n}\}$は、写像$\eta_{n,\mu}$、$\nu_{m,n,\mu}$、$L_{m,n,\mu}$を含む可換図式によって整合性を持つ。
• $\widetilde{\eta}: \mathcal{A}(M_\infty) \to L^2(M_\infty)$は、像が稠密な$G_\infty$-不変等長埋め込みであり、$L^2(M_\infty)$は$\mathcal{A}(M_\infty)$のヒルベルト空間完備化である。
• $L^2(M_\infty)$上の$G_\infty$の左正則表現は、最高重量$\xi_I = \sum k_r \xi_r$をもつ、非可約表現$\pi_I = \varinjlim \pi_{I,n}$の重複度1の離散直和として表される。