[論文レビュー] Weyl law for semi-classical resonances with randomly perturbed potentials

Johannes Sjoestrand|arXiv (Cornell University)|Nov 15, 2011

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 27被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、コンパクトに台を持つ厳密に凸なポテンシャルを有するシュレーディンガー作用素の半古典的レゾナント状態について、小さな確率的摂動のもとで、ウェイリック型の漸近法則を確立する。複素拡張とフレドホルム行列式の手法を用いて、高確率で、長方形 $[a,b] - i[0, ch^{2/3}[$ 内のレゾナント数が、元の作用素のディリクレ固有値数と一致することを示し、小さな余項を除いて、ランダム摂動の下でのウェイリック法則の確認に成功する。

ABSTRACT

In this work we consider semi-classical Schrödinger operators with potentials supported in a bounded strictly convex subset ${\cal O}$ of ${\bf R}^n$ with smooth boundary. Letting $h$ denote the semi-classical parameter, we consider certain classes of small random perturbations and show that with probability very close to 1, the number of resonances in rectangles $[a,b]-i[0,ch^{2/3}[$, is equal to the number of eigenvalues in $[a,b]$ of the Dirichlet realization of the unperturbed operator in ${\cal O}$ up to a small remainder.

研究の動機と目的

• 小さな確率的摂動を伴うポテンシャルの下で、半古典的レゾナント状態に対するウェイリック法を確立すること。
• 確率が1に近づく限り、実軸に近い帯状領域内のレゾナント数が、ポテンシャルの台内における元の作用素のディリクレ固有値数と一致することを示すこと。
• 上界を超えるレゾナント分布の理解を拡張し、確率的摂動下での正確な漸近的カウントを提供すること。
• 複素拡張、グラシーン問題、および確率的行列技法を統合したフレームワークを構築し、半古典的領域における非自己共役固有値性を分析すること。

提案手法

• レゾナント問題を元の領域 $\mathcal{O}$ 上の境界値問題に変換するために、複素拡張を用いる。
• グラシーン問題と一般化されたフレドホルム行列式を用いて、レゾナント数関数を、正則関数族の作用素の行列式に関連付ける。
• 外部ディリクレ問題に対するパラメトリックスの構築と、境界 $\partial\mathcal{O}$ 上のディリクレ・トゥ・ノイマン写像の解析に依拠する。
• 確率的摂動は、小さな滑らかで平均が0のガウス過程としてモデル化され、レゾナント数と固有値数の不一致の確率的見積もりに用いられる。
• 半古典的ソボレフ空間とWKB型推定式を用いて、転送点付近および外部領域における解の挙動を制御する。
• 微局所解析、摂動行列のトレースクラス推定式、および特異値の境界を組み合わせることで、行列式の挙動を制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ポテンシャルがランダムに摂動された場合、実軸に近い半古典的帯状領域内のレゾナント数が、元のシュレーディンガー作用素のディリクレ固有値数と漸近的に一致するか？
• RQ2 ポテンシャルが回軸的でない場合でも、小さな確率的摂動のもとで、半古典的極限においてレゾナント状態のウェイリック法を確立できるか？
• RQ3 与えられた長方形内でのレゾナント数が、内部ディリクレ問題の固有値数からどれほど逸脱する確率か？
• RQ4 ランダム摂動は、実軸に近い下半平面におけるレゾナント分布にどのように影響を与えるか？

主な発見

• 確率が1に限りなく近い限り、長方形 $[a,b] - i[0, ch^{2/3}[$ 内のレゾナント数は、$\mathcal{O}$ 内の元の作用素のディリクレ固有値数と一致し、小さな余項を除いて成り立つ。
• レゾナント数の漸近的カウントは、内部ディリクレ問題における固有値のウェイリック法と一致し、半古典的レゾナント状態の類似が裏付けられる。
• この結果は、$\mathcal{O} \Subset \mathbb{R}^n$ で滑らかで厳密に凸な領域に台を持つポテンシャルについて成り立ち、回軸対称性の仮定は不要である。
• レゾナント数の誤差項は、$h$ の任意のべきよりも小さい。これは半古典的領域と整合的である。
• この手法により、小さな確率的摂動下でも、レゾナント数の確率的安定性が確立され、対称性が破れても成立する。
• 解析により、レゾナント分布の主要項の漸近的挙動が、ランダムノイズが存在しても内部固有値問題によって支配されることを確認した。