[論文レビュー] Weyl matrix functions and inverse problems for discrete Dirac type self-adjoint system: explicit and general solutions

Bernd Fritzsche, Bernd Kirstein+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 13, 2007

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 20被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、Weyl行列関数を用いて、離散的ディラック型自己共役系における逆問題の明示的で一般な解を提示する。Borg-Marchenko型の一意性結果を確立し、系をブロックトーペィチス行列およびSzegö再帰と結びつけることで、区間および半直線上のWeyl関数を用いた完全な再構成フレームワークを提供する。

ABSTRACT

Discrete Dirac type self-adjoint system is equivalent to the block Szegö recurrence. Representation of the fundamental solution is obtained, inverse problems on the interval and semi-axis are solved. A Borg-Marchenko type result is obtained too. Connections with the block Toeplitz matrices are treated.

研究の動機と目的

• 離散的ディラック型自己共役系の直接問題および逆問題を、Weyl行列関数を用いて解くこと。
• 半直線上の系に対してBorg-Marchenko型の一意性結果を確立すること。
• 系をブロックトーペィチス行列および行列値Szegö再帰と結びつけること。
• 有理的Weyl関数（擬似指数関数的ポテンシャル）のケースに対して明示的解を導出し、非有理的ケースに対して一般解を提供すること。
• 単位円板および上半平面におけるWeyl関数を、行列関数クラスおよび正定値条件を用いて特徴付けること。

提案手法

• 行列変換および伝達行列関数を用いて、離散的ディラック系の基本解の表現を導出する。
• Weyl関数を直接問題および逆問題の中心的対象とし、系のスペクトルデータと結びつける。
• 擬似指数関数的ポテンシャルの場合の基本解に対して明示的公式を用いて解を構成する。
• J理論および一般化された解の理論を用いて、単位円板および上半平面上のWeyl関数を特徴付ける。
• 行列の正定値条件およびブロックトーペィチス行列の構造を用いて、Weyl関数から系を再構成する。
• 行列変換および係数同定を通じて、離散的ディラック系とブロックSzegö再帰の間の同等性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有理的Weyl関数（擬似指数関数的ポテンシャル）を有する離散的ディラック型自己共役系の逆問題に対して、どのように明示的解を構成できるか？
• RQ2 半直線上のWeyl関数から系の再構成が一意に保証されるための条件は何か？
• RQ3 単位円板および上半平面上のWeyl関数は、系のスペクトルデータとどのように関連しているか？
• RQ4 離散的ディラック系は、どのようにしてブロックトーペィチス行列および行列値Szegö再帰と結びついているか？
• RQ5 正定値係数を有する系に対応するWeyl関数の特徴は何か？

主な発見

• 区間および半直線上の逆問題は、Weyl関数を用いて一意に解け、定理5.3に構成的手続きを提示している。
• 有理的Weyl関数（擬似指数関数的ポテンシャル）のケースでは、直接問題および逆問題の両方に対して明示的解が導出された。
• Borg-Marchenko型の一意性結果が確立された：Weyl関数は半直線上の系を一意に決定する。
• 半直線上のWeyル関数は、入れ子になった行列関数クラスの共通部分として特徴付けられ、一意性が保証される。
• トーペィチス行列 $\bigl\{s_{j-k}\bigr\}_{k,j=0}^{N}$ において正定値条件を満たす行列関数が、系のWeyl関数であることが示された。
• 伝達行列関数および正定値性を保つ変換を含む手順により、系はWeyl関数から完全に回復可能である。