[論文レビュー] Weyl modules and q-Whittaker functions

Alexander Braverman, Michael Finkelberg|arXiv (Cornell University)|Mar 7, 2012

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 12被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、$ q $-Toda可積分系を用いて、$ G[[\mathsf{t}]] \rtimes \mathbb{C}^* $ のWeyl加群の幾何的実現を確立する。$ G $ が単純代数群の場合、捩れた $ q $-Whittaker 関数 $ \widehat{\Psi}_{\check{\lambda}}(q,z) $ が、Demazure加群 $ D(\check{\lambda}) $ の特徴と一致することを示す。この構成は、量子群 Kostant-Whittaker 減少と、$ G(R)/T \cdot U_-(R) $ 上の代数幾何的技法を用い、これらの加群の新たな幾何的解釈を提供し、コhomological不変量を用いて特徴式を証明する。

ABSTRACT

Let G be a semi-simple simply connected group over complex numbers. In this paper we give a geometric definition of the (dual) Weyl modules over the group G[t] and show that their characters form an eigen-function of the lattice version of the q-Toda integrable integrable system (defined by means of the quantum group version of Kostant-Whittaker reduction due to Etingof and Sevostyanov). All the proofs are algebro-geometric and rely on our previous work which interprets the universal eigen-function of the q-Toda system in terms of rings of functions on the spaces of based quasi-maps from P^1 to the flag variety of G. We discuss in detail the relation between the current work and the works of Cherednik, Ion, Sanderson and Gerasimov-Lebedev-Oblezin.

研究の動機と目的

• 量子群 Kostant-Whittaker 減少を用いて $ q $-Toda 系の下で $ q $-Whittaker 関数 $ \Psi_{\check{\lambda}}(q,z) $ を定義する。
• Lie代数作用が層コhomology空間上に作用する際の不変量として、Demazure加群 $ D(\check{\lambda}) $ の幾何的実現を確立する。
• 単純代数群の場合に、捩れた $ q $-Whittaker 関数 $ \widehat{\Psi}_{\check{\lambda}}(q,z) $ が $ D(\check{\lambda}) $ の特徴に一致することを、代数幾何的手法を用いて証明する。
• 従来の表現論的アプローチとは異なる、$ D(\check{\lambda}) $ の新たな幾何的解釈を提供する。

提案手法

• 量子群 Kostant-Whittaker 減少を用いて、量子差分Toda系 $ \mathcal{M}_f $ を構成し、$ \mathcal{M}_f^{\text{lat}} $ の固有関数として $ \Psi_{\check{\lambda}}(q,z) $ を定義する。
• 捩れた $ q $-Whittaker 関数 $ \widehat{\Psi}_{\check{\lambda}}(q,z) = \Psi_{\check{\lambda}}(q,z) \cdot \prod_{i \in I} \prod_{r=1}^{\langle \alpha_i, \check{\lambda} \rangle} (1 - q^r) $ を定義し、これは $ q $ に関して多項式である。
• Demazure加群 $ D(\check{\lambda}) $ を $ \mathbb{A}^{\check{\lambda}} $ 上の層 $ \mathcal{W}(\check{\lambda}) $ のファイバーとして実現し、自然な $ \mathbb{C}[\mathbb{A}^{\check{\lambda}}] $-作用を備える。
• $ \mathfrak{t}(\widetilde{R})_1 $ が $ \Gamma(G(R)/T \cdot U_-(R), \mathcal{O}(\check{\lambda})) $ 上に作用することを用いて、加群構造を定義し、不変量が $ D(\check{\lambda})^\vee $ を回復することを示す。
• $ \mathbb{C}[\mathbb{A}^{\check{\lambda}}] $-作用が $ \pi_{\check{\lambda}} $ を通じて因数分解されることを証明し、$ D(\check{\lambda}) $ の幾何的実現を獲得する。
• Kodaira の正則性定理とコhomological技法を適用し、$ \Gamma(G(R)/B_-(R), \mathcal{O}(\check{\lambda})) $ が $ D(\check{\lambda})^\vee $ と同型であることを同定し、特徴式を完成させる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 量子群による $ q $-Toda 系の還元を通じて、$ q $-Whittaker 関数を幾何的にどのように定義できるか？
• RQ2 層コhomology空間 $ G(R)/T \cdot U_-(R) $ 上の $ D(\check{\lambda}) $ の幾何的意味は何か？
• RQ3 なぜ単純代数群の場合に、捩れた $ q $-Whittaker 関数 $ \widehat{\Psi}_{\check{\lambda}}(q,z) $ が $ D(\check{\lambda}) $ の特徴に一致するのか？
• RQ4 $ \mathbb{C}[\mathbb{A}^{\check{\lambda}}] $-作用が $ \mathcal{W}(\check{\lambda}) $ 上に幾何的にどのように解釈できるか？また、$ D(\check{\lambda}) $ の加群構造とどのように関係するか？

主な発見

• 単純代数群の場合、捩れた $ q $-Whittaker 関数 $ \widehat{\Psi}_{\check{\lambda}}(q,z) $ は、Demazure加群 $ D(\check{\lambda}) $ の特徴に一致する。
• Demazure加群 $ D(\check{\lambda}) $ は、$ \mathbb{A}^{\check{\lambda}} $ 上の層 $ \mathcal{W}(\check{\lambda}) $ のファイバーとして実現され、自然な $ \mathbb{C}[\mathbb{A}^{\check{\lambda}}] $-作用を備える。
• 空間 $ \Gamma(G(R)/B_-(R), \mathcal{O}(\check{\lambda})) $ は $ D(\check{\lambda})^\vee $ と同型であり、双対加群の幾何的構成を提供する。
• $ \mathbb{C}[\mathbb{A}^{\check{\lambda}}] $-作用は写像 $ \pi_{\check{\lambda}} $ を通じて因数分解され、加群構造の新たな幾何的解釈をもたらす。
• $ \mathfrak{t}(\widetilde{R})_1 $ の不変量が $ \mathcal{W}(\check{\lambda})^\vee $ 上に作用し、$ \Gamma(G(R)/B_-(R), \mathcal{O}(\check{\lambda})) $ を回復する。これにより、特徴式が確認される。
• 証明は代数幾何的であり、San と Ion の先行研究とは独立しており、特徴恒等式の新たな視点を提供する。