[論文レビュー] Weyl quantization of degree 2 symplectic graded manifolds

Melchior Grützmann, Jean-Philippe Michel+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 13, 2014

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 36被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、スピン接続バンドル上の微分作用素代数に新たなフィルトレーションを導入し、その関連する順次代数が、自然に付随する次数2シンプレクティック次数付き多様体上の滑らか関数の代数に同型であることを証明する。これにより、コウラント代数的構造と歪対称ディラック生成作用素の間の双対性を確立するウェイリーケンチク作用素を構成し、$D^2$ を新たな不変量として定義し、カルタン3形式のノルムの二乗を一般化する。

ABSTRACT

Let $S$ be a spinor bundle of a pseudo-Euclidean vector bundle $(E,\mathrm{g})$ of even rank. We introduce a new filtration on the algebra $\mathcal{D}(M,S)$ of differential operators on $S$. As main property, the associated graded algebra $\mathrm{gr}\mathcal{D}(M,S)$ is isomorphic to the algebra $\mathcal{O}(\mathcal{M})$ of functions on $\mathcal{M}$, where $\mathcal{M}$ is the symplectic graded manifold of degree $2$ canonically associated to $(E,\mathrm{g})$. Accordingly, we define the Weyl quantization on $\mathcal{M}$ as a map $\mathcal{WQ}_\hbar:\mathcal{O}(\mathcal{M}) o\mathcal{D}(M,S)$, and prove that $\mathcal{WQ}_\hbar$ satisfies all desired usual properties. As an application, we obtain a bijection between Courant algebroid structures $(E,\mathrm{g},ρ,[\cdot,\cdot])$, that are encoded by Hamiltonian generating functions on $\mathcal{M}$, and skew-symmetric Dirac generating operators $D\in\mathcal{D}(M,S)$. The operator $D^2$ gives a new invariant of $(E,\mathrm{g},ρ,[\cdot,\cdot])$, which generalizes the square norm of the Cartan $3$-form of a quadratic Lie algebra. We study in detail the particular case of $E$ being the double of a Lie bialgebroid $(A,A^*)$.

研究の動機と目的

• 擬ユークリッドベクトル bundle の偶数ランクのスピン接続バンドル上の微分作用素代数に新たなフィルトレーションを構築すること。
• このフィルトレーションの関連する順次代数が、自然に付随する次数2シンプレクティック次数付き多様体上の滑らか関数の代数に同型であることを証明すること。
• 標準的な量化の性質を満たす、次数付き多様体上の関数から微分作用素へのウェイリー量化写像を構成すること。
• この量化を用いて、コウラント代数的構造と歪対称ディラック生成作用素の間の対応関係を確立すること。
• コウラント代数的構造に対する新たな不変量 $D^2$ を定義し、二次代数的 Lie 群のカルタン3形式のノルムの二乗を一般化すること。

提案手法

• 偶数ランクの擬ユークリッドベクトルバンドル $(E,\mathrm{g})$ のスピン接続バンドル $S$ 上の微分作用素代数 $\mathcal{D}(M,S)$ に新たなフィルトレーションを導入する。
• 関連する順次代数 $\operatorname{gr}\mathcal{D}(M,S)$ が、$(E,\mathrm{g})$ に自然に付随する次数2シンプレクティック次数付き多様体 $\mathcal{M}$ 上の滑らか関数の代数 $\mathcal{O}(\mathcal{M})$ に同型であることを証明する。
• この同型を用いて、ウェイリー量化写像 $\mathcal{WQ}_\hbar: \mathcal{O}(\mathcal{M}) \to \mathcal{D}(M,S)$ を構成し、標準的な量化公理を満たすことを検証する。
• 量化写像を用いて、$E$ 上のコウラント代数的構造と歪対称ディラック生成作用素 $D \in \mathcal{D}(M,S)$ の間の双対性を確立する。
• コウラント代数的構造の新たな不変量として、作用素 $D^2$ を定義し、二次代数的 Lie 群のカルタン3形式のノルムの二乗を一般化する。
• $E$ が Lie バイアゲイドロイド $(A,A^*)$ の二重である場合に $D^2$ を局所的自明化のもとで分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 微分作用素の代数に、その順次代数が自然に付随する次数2シンプレクティック次数付き多様体上の滑らか関数の代数に同型となるような新たなフィルトレーションをどのように構成できるか？
• RQ2 このような次数付き多様体上の関数から微分作用素へのウェイリー量化写像を定義でき、必要な量化の性質を満たすか？
• RQ3 この量化を用いて、コウラント代数的構造と歪対称ディラック生成作用素の間の自然な双対性が存在するか？
• RQ4 コウラント代数的構造に対して作用素 $D^2$ が持つ幾何学的・代数的意味は何か？ そして、既知の不変量をどのように一般化するか？
• RQ5 Lie バイアゲイドロイドの二重である場合、不変量 $D^2$ はどのように振る舞い、その明示的表現は何か？

主な発見

• 関連する順次代数 $\operatorname{gr}\mathcal{D}(M,S)$ は、$(E,\mathrm{g})$ に自然に付随する次数2シンプレクティック次数付き多様体 $\mathcal{M}$ 上の滑らか関数の代数 $\mathcal{O}(\mathcal{M})$ に同型である。
• ウェイリー量化写像 $\mathcal{WQ}_\hbar: \mathcal{O}(\mathcal{M}) \to \mathcal{D}(M,S)$ が構成され、すべての標準的な量化性質を満たすことが証明された。
• コウラント代数的構造 $(E,\mathrm{g},\rho,\llbracket\cdot,\cdot\rrbracket)$ と歪対称ディラック生成作用素 $D \in \mathcal{D}(M,S)$ の間には双対性が存在する。
• $D^2$ はコウラント代数的構造の新たな不変量であり、二次代数的 Lie 群のカルタン3形式のノルムの二乗を一般化する。
• $E$ が Lie バイアゲイドロイド $(A,A^*)$ の二重である場合、局所的自明化のもとで不変量 $D^2$ は $\frac{1}{2}\langle\zeta_0,\eta_0\rangle - \widehat{Q}_*\eta_0$ に等しい。ここで $\zeta_0$ と $\eta_0$ はモジュラー1コサイクルである。
• $\{\Theta,\Theta\}=0 \iff \left(\operatorname{L}_Q + \beta \circ \operatorname{L}_{Q_*} \circ \beta^{-1}\right)^2 \in C^\infty(M)$ の同値性が確立され、ハミルトニアン条件がディラック作用素の二乗と関連付けられる。